一．正弦、余弦、正切函式圖象和性質
正弦函式、余弦函式、正切函式的影象
一）三角函式的性質
1、定義域與值域
2、奇偶性
（1）基本函式的奇偶性奇函式：y＝sinx，y＝tanx； 偶函式：y＝cosx.
（2） 型三角函式的奇偶性
（ⅰ）g（x）＝ （x∈r）
g（x）為偶函式
由此得 ；
同理， 為奇函式 .
（ⅱ）為偶函式 ； 為奇函式
3、週期性
（1）基本公式
（ⅰ）基本三角函式的週期 y＝sinx，y＝cosx的週期為 ； y＝tanx，y＝cotx的週期為 .
（ⅱ） 型三角函式的週期
的週期為 ；
的週期為 .
（2）認知
（ⅰ） 型函式的週期
的週期為 ；
的週期為 .
（ⅱ） 的週期
的週期為；
的週期為 .
均同它們不加絕對值時的週期相同，即對y＝ 的解析式施加絕對值後，該函式的週期不變.注意這一點與（ⅰ）的區別.
（ⅱ）若函式為型兩位函式之和，則探求週期適於「最小公倍數法」.
（ⅲ）探求其它「雜」三角函式的週期，基本策略是試驗――猜想――證明.
（3）特殊情形研究
（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正週期為 ；
（ⅱ） 的最小正週期為 ；
（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正週期為 .
由此領悟「最小公倍數法」的適用型別，以防施錯物件.
4、單調性
（1）基本三角函式的單調區間（族）
依從三角函式圖象識證「三部曲」：
①選週期：在原點附近選取那個包含全部銳角，單調區間完整，並且最好關於原點對稱的乙個週期；
②寫特解：在所選週期內寫出函式的增區間（或減區間）；
③獲通解：在②中所得特解區間兩端加上有關函式的最小正週期的整數倍，即得這一函式的增區間族（或減區間族）
循著上述三部曲，便可得出課本中規範的三角函式的單調區間族.
揭示：上述「三部曲」也適合於尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函式的定義域.
（2）y＝ 型三角函式的單調區間
此類三角函式單調區間的尋求「三部曲」為
①換元、分解：令u＝ ，將所給函式分解為內、外兩層：y＝f（u），u＝ ；
②套用公式：根據對復合函式單調性的認知，確定出f（u）的單調性，而後利用（1）中公式寫出關於u的不等式；
③還原、結論：將u＝ 代入②中u的不等式，解出x的取值範圍，並用集合或區間形成結論.
正弦、余弦、正切、餘切函式的圖象的性質：
注意： 與的單調性正好相反；與的單調性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.
與的週期是.
或（）的週期.
的週期為2（，如圖，翻摺無效）.
的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.
當·；·.
與是同一函式,而是偶函式，則
.函式在上為增函式.（×） [只能在某個單調區間單調遞增. 若在整個定義域，為增函式，同樣也是錯誤的].
定義域關於原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關於原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函式：，奇函式：）
奇偶性的單調性：奇同偶反. 例如：是奇函式，是非奇非偶.（定義域不關於原點對稱）
奇函式特有性質：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質）
不是週期函式；為週期函式（）；
是週期函式（如圖）；為週期函式（）；
的週期為（如圖），並非所有週期函式都有最小正週期，例如：
. 有.
二、形如的函式：
1、幾個物理量：a―振幅；―頻率（週期的倒數）；―相位；―初相；
2、函式表示式的確定：a由最值確定；由週期確定；由圖象上的特殊點確定，如，的圖象如圖所示，則＝_____（答：）；
3．函式
最大值是，最小值是，週期是，最小正週期
頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。
4、研究函式性質的方法：模擬於研究的性質，只需將中的看成中的，但在求的單調區間時，要特別注意a和的符號，通過誘導公式先將化正。如
（1）函式的遞減區間是______（答：）；
（2）的遞減區間是_______（答：）；
5、函式圖象的畫法：（1）利用「五點法」作函式(其中)的簡圖，是將看著乙個整體，先令列表求出對應的的值與的值，用平滑曲線鏈結各點，即可得到其在乙個週期內的圖象。②圖象變換法：
這是作函式簡圖常用方法===由圖象推的圖象
6．函式的圖象與圖象間的關係：圖象變換
(1)振幅變換
(2)週期變換
(3)相位變換
(4)上下平移(縱向平移變換): 是由k的變化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移
具體變換方法：三角函式圖象的平移和伸縮
函式的圖象與函式的圖象之間可以通過變化來相互轉化．影響圖象的形狀，影響圖象與軸交點的位置．由引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱週期變換，它們都是伸縮變換；由引起的變換稱相位變換，由引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換．既可以將三角函式的圖象先平移後伸縮也可以將其先伸縮後平移．
（一）先平移後伸縮
的圖象得
的圖象得
的圖象得
的圖象得圖象
（二）先伸縮後平移
的圖象得
的圖象得
的圖象得
的圖象得圖象無論哪種變形，請切記每乙個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看「變數」起多大變化，而不是「角變化」多少。特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應平移個單位，例如：函式的圖象經過怎樣的變換才能得到的圖象？
（答：向上平移1個單位得的圖象，再向左平移個單位得的圖象，橫座標擴大到原來的2倍得的圖象，最後將縱座標縮小到原來的即得的圖象）；
三、正切函式的圖象和性質：
（1）定義域：。（2）值域是r，在上面定義域上無最大值也無最小值；
（3）週期性：是週期函式且週期是，它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是乙個週期。絕對值或平方對三角函式週期性的影響：
一般說來，某一週期函式解析式加絕對值或平方，其週期性是：弦減半、切不變．既為週期函式又是偶函式的函式自變數加絕對值，其週期性不變，其它不定。 如的週期都是, 但的週期為，而，的週期不變；
（4）奇偶性與對稱性：是奇函式，對稱中心是，特別提醒：正(餘)切型函式的對稱中心有兩類：
一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函式的不同之處。（5）單調性：正切函式在開區間內都是增函式。
但要注意在整個定義域上不具有單調性。
高中數學必修內容複習04三角函式
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