平面向量
一：知識框架圖；
二、詳細知識要點講解；
重點知識回顧
1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個要素
2.向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母、等表示；③平面向量的座標表示：
分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底。任作乙個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數、，使得，叫做向量的（直角）座標，記作，其中叫做在軸上的座標，叫做在軸上的座標， 特別地， ， ，。；若，，則，
3.零向量、單位向量：①長度為的向量叫零向量，記為； ②長度為個單位長度的向量，叫單位向量.（注：就是單位向量）
4.平行向量：①方向的向量叫平行向量；②我們規定與任一向量平行.向量、、平行，記作∥∥.共線向量與平行向量關係：平行向量就是共線向量.
5.相等向量： 相等且相同的向量叫相等向量.
6．向量的基本運算
（1） 向量的加減運算
幾何運算：向量的加減法按平行四邊行法則或三角形法則進行。
座標運算：設a =(x1,y1), b =(x2,y2)則a+ba-b
(2) 平面向量的數量積 ： ab
設a =(x1,y1), b =(x2,y2)則ab
（3）兩個向量平行的充要條件 ∥ =λ （不是零向量）
若 =(x1,y1), =(x2,y2)，則
（4）．兩個非零向量垂直的充要條件是
設 =(x1,y1)， =(x2,y2)，則
.向量的加法、減法：
①求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。②向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即： = + ()；
差向量的意義： =, =, 則=
③平面向量的座標運算：若，，則， ，。
④向量加法的交換律： +=+；向量加法的結合律
7．實數與向量的積：實數λ與向量的積是乙個向量，記作：λ
（12）λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ=；（3）運算定律
8． 向量共線定理向量與非零向量共線（也是平行）的充要條件是：有且只有乙個非零實數λ，使= 。
9．平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解(4)基底給定時，分解形式惟一.
λ1，λ2是被，，唯一確定的數量。
10. 向量和的數量積其中∈[0，π]為和的夾角。②||cos稱為在的方向上的投影。
③·的幾何意義是：的長度||在的方向上的投影的 ，是乙個實數（可正、可負、也可是零），而不是向量。
④若=（，）, =（x2，）, 則
⑤運算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λba+b）·c
⑥和的夾角公式：cos
⑦||2=x2+y2，或||=⑧| a·b |≤| a |·| b |。
11．兩向量平行、垂直的充要條件設
①a⊥ba·b=0 ， =+=0；
②（≠）充要條件是：有且只有乙個非零實數λ，使=λ。
向量的平行與垂直的座標運算注意區別，在解題時容易混淆。
三：難點、易錯點；
1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。
2、掌握向量的加法和減法。
3、掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的座標的概念，掌握平面向量的座標運算。
5、掌握平面向量的數量積及其幾何意義。了解用平面向量的數量積可以處理有關長度，角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。
四：考點舉例及配套課堂練習（例題講解）
（一）基礎知識訓練
1.下列命題正確的是
單位向量都相等任一向量與它的相反向量不相等
平行向量不一定是共線向量模為的向量與任意向量共線
2. 已知正六邊形中，若， ，則（ ）
3. 已知向量， =2若向量與共線，則下列關係一定成立是
或4. 若向量，共線且方向相同
5．設，已知兩個向量，
，則向量長度的最大值是（ ）
a. b. c. d.
（二）．典例分析
例1：（1）設與為非零向量，下列命題：
若與平行，則與向量的方向相同或相反；
若與共線，則a、b、c、d四點必在一條直線上；
若與共線，則；若與反向，則
其中正確命題的個數有
（a）1個 （b）2個 （c）3個 （d）4個
（2）下列結論正確的是
（a） （b）（c）若
（d）若與都是非零向量，則的充要條件為
錯解：（1）有學生認為全正確，答案為4；也有學生認為或是錯的，答案為2或3；（2）a或b或c。
分析：學生對向量基礎知識理解不正確、與實數有關性質運算相混淆，致使選擇錯誤。
第（1）小題中，正確的應該是，答案為2。共線向量（與共線）的充要條件中所存在的常數可看作為向量作伸縮變換成為另乙個向量所作的伸縮量；若，為非零向量，則共線的與滿足與同向時，與反向時。
第（2）小題中，正確答案為（d）。學生的錯誤多為與實數運算相混淆所致。選擇支d同時要求學生明確向量垂直、兩個向量的數量積、向量的模之間互化方法，並進行正確互化。
例2 設a、b是兩個不共線向量。ab=2a+kb bc=a+b cd=a-2b
a、b、d共線則k=_____(k∈r)
解：bd=bc+cd=a+b+a-2b=2a-b
2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
∴ 2=2λ且 k=-λ
∴ k=-1
例3 梯形abcd，且|ab|=2|dc|,m、n分別為dc、ab中點。
ab=a ad=b 用a，b來標dc、bc、mn。
解：dc= ab=a
bc=bd+dc=(ad-ab)+dc =b-a+ a=b- a
mn=dn-dm=a-b-a= a-b
例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：設a=(x,y)則 x2+y2=100 （1）
由a∥b得 -4x-3y=0 （2）
解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8
∴ a=(6,-8)或(-6,8)
五． 歸納小結
1． 向量有代數與幾何兩種形式，要理解兩者的內在聯絡，善於從圖形中發現向量間的關係。
2． 對於相等向量，平行向量，共線向量等概念要區分清楚，特別注意零向量與任何向量共線這一情況。要善於運用待定係數法。
課堂練習
1、下列命題正確的是（ ）
a．若，則 b．若，則或
c．若，則 d．若，則
2、已知平行四邊形abcd的三個頂點、、，則頂點d的座標為（ ）
ab． c． d．
3、設，與反向的單位向量是，則用表示為
a． b． c． d．
4、d、e、f分別為的邊bc、ca、ab上的中點，且，，下列命題中正確命題的個數是（ ）
①；②；③；
④。a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
5、化簡
6、已知向量，且，則的座標
7、若，則的夾角為
8、已知向量
求 （1）的值； （2）與的夾角的余弦。
9、如果向量與，的夾角都是，而，且，求的值。
課堂練習答案
基礎知識訓練：
d，b，b，d， 5，； 6
7， 0， 8，(1)ab=10, =5 (2)
9, -1
《平面向量》測試題
一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
2．下列命題中：①若a與b互為負向量，則a＋b＝0；②若k為實數，且k·a＝0，則a＝0或k＝0；③若a·b＝0，則a＝0或b＝0；④若a與b為平行的向量，則a·b＝|a||b|；⑤若|a|＝1，則a＝±1．其中假命題的個數為（）
a．5個 b．4個 c．3個 d．2個
４．設|a|＝1，|b|＝2，且a、b夾角120°，則|2a＋b|等於
５．已知△abc的頂點座標為a（3，4），b（－2，－1），c（4，5），d在bc上，且，則ad的長為
6．已知a＝（2，1），b＝（3，λ），若（2a－b）⊥b，則λ的值為
a．3 b．－1 c．－1或3 d．－3或1
７．向量a＝（1，－2），|b|＝4|a|，且a、b共線，則b可能是
a．（4，8） b．（－4，8） c．（－4，－8） d．（8，4）
8．已知△abc中，，則a與b的夾角為
a．30° b．－150° c．150° d．30°或150°
10．已知向量，滿足且則與的夾角為
知識點典型例題平面向量 2
一 基礎知識 1.運算性質及重要結論 平面向量基本定理 如果是同一平面內兩個不共線的向量,那麼對於這個平面內任一向量,有且只有一對實數,使，稱為的線性組合。其中叫做表示這一平面內所有向量的基底 平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,並且這種分解是唯一的.這說明如果且,那麼.當...
必修4平面向量複習知識點經典例題練習
平面向量 複習姓名 1 向量的有關概念 既有又有的量叫向量的向量叫零向量的向量叫單位向量 叫平行向量，也叫共線向量 規定零向量與任一向量 且的向量叫相等向量 2 向量的加法與減法 向量的加法 作法按法則或法則進行 加法滿足律和律 向量的減法 作法是將兩向量的連線，連線，方向指向 練習 作圖。如下圖已...
平面向量知識點易錯點歸納
1 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數 1 2，使a 1e1 2e2.其中，不共線的向量e1 e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底 2 平面向量的座標運算 1 向量加法 減法 數乘及向量的模 設a x1，y1 b x2，...