九年級數學競賽專題第十三講面積方法
一、選擇題
1．如圖1，△abc為等腰直角三角形，它的面積為8平方厘公尺，以它的斜邊為邊的正方形bcde的面積為（ ）平方厘公尺。
a．16; b．24; c．64; d．32
(123)
2．梯形abcd中，ad∥bc， =3：7，那麼它們的中位線把梯形分成兩部分的面積比為（ ）
a．1：2;b．1：3; c．2：3; d．1：4
3．如圖2，e、f、g、h分別是四邊形abcd的邊ab、bc、cd，ad的中點，af、ce交於k，ag、ch交於l，ek：kc=1：2，hl：lc=1：2，則等於（ ）
a． b． c． d．
4．如圖3，矩形abcd的長為a，寬為b，如果=（ ）
a． b． c． d．
5．如圖4，p為平行四邊形abcd內一點，且則等於（ ）
a．2; b．3; c．3; d．4
456)
二、填空題
1．如圖5，a**段bg上，abcd和defg都是正方形，面積分別為7平方厘公尺和11平方厘公尺，則△cde的面積等於_________平方厘公尺。
2．如圖6，p為平行四邊形abcd內一點，過點p分別作ab、ad的平行線交平行四邊形於e、f、g、h四點，若，則
3．如圖7，g是邊長為4的正方形abcd邊上一點，矩形defg的邊ef經過點a，已知gd=5，則fg為
789)
4．如圖8，e為平行四邊形abcd中bc邊的中點，ae交對角線bd於g，如果△beg的面積是1，則平行四邊形abcd的面積是
5．如圖9，abcd是平行四邊形，e在ac上，ae=2ec，f在ab上，bf=2af，若△bef的面積是2 平方厘公尺，則平行四邊形abcd的面積是_______平方厘公尺。
三、解答題
1．如圖，已知m、e分別是ab、cd中點，mn⊥cd，ef⊥ab，若mn=ab，ef=cd.
2．求證：以乙個三角形三邊中線為邊的三角形的面積是原三角形面積的。
3．如圖，在正方形abcd中，m、n各在bc和cd上，滿足∠man=45°
求證：.
4．如圖，過平行四邊形abcd內任一點p作各邊的平行線分別交ab、bc、c感動e、f、g、h。
求證：5．如圖，rt△abc中，ab > ac，在斜邊bc上有一點d，bd=ba，過d作直線de交ab於e，且de平分△abc的面積。求證：eb=ed=be.
答案一、
1．d2．c
3．b4．a
5．b提示：
1．解法一：
設ab=x，則=8，所以x = 4，
所以bc=4，所以
解法二：鏈結bd、ec交o，如圖，
易證△abc≌△boc
所以所以
2．顯然，△abd與△bcd等高，
∴ad：bc==3：7
設ad=2k，bc=7k，（k > 0）
則中位線長為5k，
顯然，中位線將梯形分成兩個等高的梯形，設這個高為h，則兩小梯形面積分別為：
其面積比為4kh：6kh = 2：3
3．如圖，鏈結ac，
因為ek：kc=1：2
所以kc：ec=2：3
所以因為e為ab中點，
所以所以
同理：所以所以故選b
4． ∴∴
鏈結db，如圖，則
∴cf：fb=
∴fb =
同理，eb=
∴∴，故選a
5．如圖，過p作pf⊥ab於f，並反向延長交dc於e，則pe⊥dc
∵ab = dc，
∴故選b二、
1．；2．1；
3．；4．12；
5．9提示：
1．過e作eh⊥cd於h，如圖，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
又∵∠ehd=∠dag=90°，ed=dg，
∴△edh≌△dga，
∴eh=ag
由得，cd=ad=cm，dg=
在rt△adg中，ag=
∴2．顯然epgd、gpfc、epha、phbf均為平行四邊形∴∴
又 ①
②①-②得0 =
即 2∴
3．如圖，鏈結ag，則∴∴
∴4．如圖，鏈結ac交db於o
∵ad∥bc，
∴△beg∽△adg，∴∴
∴∵e為bc中點，∴∴
5．∵bf=2af
∴bf=ab， ∴
又∵ae=2ec， ∴∴∴
三、1．如圖，鏈結ae、dm、me
∵e、m分別為dc、ab中點，
∴de=dc，am=ab，
又∵mn=ab，ef=cd，
∴∴△dme、△ame均以me為底邊時高相等，即d、a到me的距離相等，
∴ad∥em
同理可證，bc∥me
∴ad∥bc
2．如圖，ad、be、cf為△abc的三條中線，延長ad到g，使dg=ad，鏈結bg、gc，
取bg中點h，鏈結fh、ch
顯然，abgc為平行四邊形
所以ac=bh，
又因為e、h分別為ac、bg中點，
所以bh平行且等於ec
所以bhce為平行四邊形
所以hc=be
又因為f、h為ab、bg中點，
所以fh平行且等於ag，
所以fh平行且等於ad
所以△fch三邊長即為△abc三中線長
又△bhf∽△abg， ∴而
∴3．如圖，將△and順時針旋轉90°到△abd處，顯然d、b、c在同一直線上
∵∠man=45°，∠bad=90°，
∴∠1+∠2=45°，∠1+∠3=45°，
即∠dam=45°，又∵a d=an
∴△adm≌△amn，∴∴
5．如圖，過e作ef⊥bd於f，
則又∵，
ab=bd，
∴ef=ac
顯然△bef∽△bca
∴ 即be=
同理，bf=ab=bd
∴ef垂直平分bd，
∴ef=be=bc
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