【自學導引】
1．線性規劃問題的數學模型是已知(這裡「≤」也可以是「≥」或「＝」號)，其中aij(i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，m)，bi(i＝1，2，…，m)都是常量，xj(j＝1，2，…，m)是非負變數，求z＝c1x1＋c2x2＋…＋cmxm的最大值或最小值，這裡cj(j＝1，2，…，m)是常量．
2．線性規劃常見的具體問題有物質調運問題、產品安排問題、下料問題．
【思考導學】
1．應用線性規劃解決實際問題的一般步驟是什麼？
答：一般步驟是①設出變數，列出線性約束條件和線性目標函式；②利用**法求出最優解，進而求得目標函式的最大(或最小)值．
2．線性規劃的理論和方法主要在哪兩類問題中得到應用？
答：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務．
【典例剖析】
［例1］已知甲、乙兩煤礦每年的產量分別為200萬噸和260萬噸，需經過東車站和西車站兩個車站運往外地．東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費**分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費**分別為0.8元/噸和1.
6元/噸．煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最少?
解：設甲煤礦向東車站運x萬噸煤，乙煤礦向東車站運y萬噸煤，那麼總運費z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(萬元)
即z＝716－0.5x－0.8y．
x、y應滿足
作出上面的不等式組所表示的平面區域，如圖7—22．
設直線x＋y＝280與y＝260的交點為m，則m(20，260)．
把直線l：0.5x＋0.8y＝0向上平移至經過平面區域上的點m時，z的值最小．
∵點m的座標為(20，260)，
∴甲煤礦生產的煤向東車站運20萬噸，向西車站運180萬噸，乙煤礦生產的煤全部運往東車站時，總運費最少．
［例2］製造甲、乙兩種烟花，甲種烟花每枚含a藥品3ｇ、b藥品4ｇ、c藥品4ｇ，乙種烟花每枚含a藥品2ｇ、b藥品11ｇ、c藥品6ｇ．已知每天原料的使用限額為a藥品120ｇ、b藥品400ｇ、c藥品240ｇ．甲烟花每枚可獲利2美元，乙種烟花每枚可獲利1美元，問每天應生產甲、乙兩種烟花各多少枚才能獲利最大．
解：設每天生產甲種烟花x枚，乙種烟花y枚，獲利為z元，則
作出可行域，如圖7—23所示．
目標函式為：z＝2x＋y．
作直線l：2x＋y＝0，將直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經過可行域上的點a且與原點的距離最大．此時z＝2x＋y取最大值．解方程組得
答：每天生產甲種烟花24枚、乙種烟花24枚，能使利潤總額達到最大．
點評：把實際問題抽象為線性規劃問題是解線性規劃應用問題的關鍵．即根據實際問題找出約束條件和目標函式是解應用問題的關鍵．
例1可用圖示法找約束條件和目標函式，如
例2可用列表去找，如：
【隨堂訓練】
1．圖中陰影部分的點滿足不等式組，在這些點中，使目標函式k＝6x＋8y取得最大值的點的座標是_____．
解析：當x∈［0，1］時，x＋y≤5，
即y≤5－x，
代入k＝6x＋8y
得：k≤40－2x，
當x＝0，y＝5時，k最大為40．
當x∈［1，3］時，2x＋y≤6，
即y≤6－2x代入k＝6x＋8y得：k≤48－10x，
當x＝1，y＝4時，k最大為38．
綜上所述，使k取得最大值的座標為(0，5)．
答案：(0，5)
2．某廠生產a與b兩種產品，每公斤的產值分別為600元與400元．又知每生產1公斤a產品需要電力2千瓦、煤4噸；而生產1公斤b產品需要電力3千瓦、煤2噸．但該廠的電力**不得超過100千瓦，煤最多只有120噸．問如何安排生產計畫以取得最大產值?
解：設生產a、b兩種產品分別為x公斤、y公斤，總產值z元，則
z＝600x＋400y．
作出不等式組表示的平面區域
由得取點m(20，20)
作直線3x＋2y＝0的平行線l1，當l1經過點m時，z的值最大，最大值為20000元．
答：安排生產a產品20公斤、b產品20公斤能取得最大產值．
3．某工廠有甲、乙兩種產品，計畫每天各生產不少於15 t．已知生產甲產品1t需煤5t、電力4千瓦、勞力3個；生產乙產品1t需煤6t、電力5千瓦、勞力10個；甲產品每1t利潤7萬元，乙產品每1t利潤12萬元，但每天用煤不超過300t，電力不超過200千瓦，勞力只有300個，問每天各生產甲、乙兩種產品多少，能使利潤總額達到最大?
解：設每天生產甲、乙兩種產品各xt、yt，利潤總額為z萬元，
則z＝7x＋12y．
且作出不等式組的可行域．
由即p(20，24)．當直線l：7x＋12y＝0向上平移到過p點，即生產甲、乙兩種產品各20 t、24 t時，利潤總額最大為428萬元．
【強化訓練】
1．某工廠生產甲、乙兩種產品，已知生產甲種產品1 t需耗a種礦石8 t、b種礦石8 t、煤5 t；生產乙種產品1 t需耗a種礦石4t、b種礦石8 t、煤10 t．每1t甲種產品的利潤是500元，每1 t乙種產品的利潤是400元．工廠在生產這兩種產品的計畫中要求消耗a種礦石不超過320 t、b種礦石不超過400 t、煤不超過450 t．甲、乙兩種產品應各生產多少能使利潤總額達到最大?
解：設生產甲、乙兩種產品分別為xt、yt，利潤總額為z元，
那麼作出以上不等式組所表示的平面區域，即可行域．
令z＝500x＋400y作直線l：5x＋4y＝0，把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經過可行域上的點m，且與原點距離最大，此時，z＝500x＋400y取最大值．
解方程組
得m的座標為(30，20)．
答：應生產甲產品30 t、乙產品20 t，能使利潤總額最大．
2．某人需要補充維生素，現有甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含有維生素a、c、d、e和最新發現的z．甲種膠囊每粒含有維生素a、c、d、e、z分別是1 mｇ、1 mｇ、4 mｇ、4 mｇ、5 mｇ；乙種膠囊每粒含有維生素a、c、d、e、z分別是3 mｇ、2 mｇ、1 mｇ、3 mｇ、2 mｇ．如果此人每天攝入維生素a至多19 mｇ，維生素c至多13 mｇ，維生素d至多24 mｇ，維生素e至少12 mｇ，那麼他每天應服用兩種膠囊各多少粒才能滿足維生素的需要量，並能得到最大量的維生素z．
解：設該人每天服用甲種膠囊x粒，乙種膠囊y粒，則z＝5x＋2y．
作出以上不等式組所表示的平面區域，即可行域．作直線l：5x＋2y＝0，把直線向右上方平移，直線經過可行域上的點m時，與原點距離最大，
此時z＝5x＋2y取得最大值，解方程組得m點座標為(5，4)此時z＝5×5＋2×4＝33(mｇ)．
答：每天應服用5粒甲種膠囊，4粒乙種膠囊滿足維生素的需要量，且能得到最大量的維生素z為33mｇ．
3．張明同學到某汽車運輸隊調查，得知此運輸隊有8輛載重量為6 t的a型卡車與6輛載重量為10 t的b型卡車，有10名駕駛員．此車隊承包了每天至少搬運720 t瀝青的任務．已知每輛卡車每天往返的次數為a型卡車16次，b型卡車12次．每輛卡車每天往返的成本費為a型車240元，b型車378元．根據張明同學的調查寫出實習報告，並回答每天派出a型車與b型車各多少輛運輸隊所花的成本最低?
解：設每天出動a型車x輛、b型車y輛，運輸隊所花的成本為z元，則
且x，y為整數，z＝240x＋378y．
以上約束條件可簡化成
作出可行域如圖：
在可行域內的整點中，點(8，0)使z＝240x＋378y取最小值．
最小值是z＝240×8＋378×0＝1920．
實習報告2023年5月6日
答：每天派出a型車8輛，b型車不派，運輸隊所花的成本最低．
【學後反思】
把調查的資料列成**有利於寫出約束條件(不等式組)．在畫可行域時，畫圖準確是十分重要的．
如何解決線性規劃問題
作者 曹學勤 新課程學習 下 2013年第03期 新的課程標準更加強調三維目標的落實，在每年的高考中均有體現，所以更加注重知識的 過程以及知識在實際中的應用.線性規劃就是考查的乙個很好內容.它充分體現了數形結合思想，而且可以用來解決最優化問題，當然就成了乙個考試的重點 熱點，那麼，在高考複習中應該如...
解決實際問題匯報
深入基層調研解決實際問題匯報材料 關心下一代工作是關係到國家命運前途的一件大事。我們應在從實踐中不斷總結新經驗 創造新方法 適應新形式。在我們的工作中湧現出不少問題，關工委雖然吸收了不少老同志參加關工委隊伍，但是有少數老同志的熱情不夠，不主動過問和參加關心下一代工作，往往是關工委辦公室多次邀請才參加...
線性規劃的實際應用
線性規劃的實際應用生產運輸問題 學號 29 姓名 李 一 問題的提出 現在有四個水泥生產地，這四個地方生產的水泥銷往附近的五個城市,這四個地方的水泥生產能力分別為100 150 120 130。五個城市的需求量分別為110 160 80 200 100。從乙個地方運往乙個城市的費用如 表一 所示，當...