2.1測量與誤差
1、測量
物理實驗不僅要定性觀察各種物理現象，更重要的是找出有關物理量之間的定量關係。為此就需要進行測量。測量指的是將待測的物理量與乙個選來作為標準的同類量進行比較的過程。
通過比較得出它們的倍數關係，進而認識待測量的一些未知屬性。可以認為測量就是一種研究方法。選作標準的同類量稱為單位。
倍數稱為測量數值。由此可見，乙個物理量的測量值等於測量值與單位的乘積。乙個物理量的大小是客觀存在的，選擇不同的單位，相應的測量數值就有所不同。
單位越大，測量數值愈小，反之亦然。
測量可分為兩類。一類是直接測量。如用尺量長度，以表計時間，天平稱質量，溫度計量溫度等；另一類是間接測量，是根據直接測量所得的資料，根據一定的公式，通過運算，得出所需要的結果，例如直接測出單擺的長度ι和週期，應用公式g=4π2ι/t2,求出重力加速度g。
在物理的測量中，絕大部分是間接測量，但直接測量是一切間接測量的基礎。不論直接測量或間接測量，都需要滿足一定的實驗條件，按照嚴格的方法及正確地使用儀器，才能得出應有的結果。因此，在實驗過程中，一定要明白實驗的目的，正確地使用儀器，細心地進行操作、讀數和記錄，以達到鞏固理論知識和加強實驗技能訓練的目的。
2.誤差
物理量在客觀上有著確定的數值，稱為真值。然而在實際測量時，由於實驗條件、實驗方法和儀器精度等的限制或者不夠完善，以及實驗人員技術水平和經驗等原因，使得測量值與客觀存在的真值之間有一定的差異。測量值x與真值tx的差值稱為測量誤差δ，簡稱誤差。
即δ= x - tx
任何測量都不可避免地存在誤差，所以，乙個完整的測量結果應該包括測量值和誤差兩個部分。既然測量不能得到真值，那麼怎樣才能最大限度地減小測量誤差並估算出這誤差的範圍呢？要回答這些問題，首先要了解誤差產生的原因及其性質。
測量誤差按其產生原因與性質可分為系統誤差、隨機誤差和過失誤差三大類。
（1）系統誤差
系統誤差的特點是有規律的，測量結果都大於真值，或小於真值。或在測量條件改變時，誤差也按一定規律變化。
系統誤差的產生有以下幾個方面：
1）由於測量儀器的不完善、儀器不夠精密或安裝調整不妥，如刻度不准、零點不對、砝碼未經校準、天平臂不等長、應該水平放置的儀器未放水平等。
2）由於實驗理論和實驗方法的不完善，所引用的理論與實驗條件不符，如在空氣中稱質量而沒有考慮空氣浮力的影響，測微小長度時沒有考慮溫度變化使尺長的改變，量熱時沒有考慮熱量的散失，測量電壓時未考慮電壓表內阻對電壓的影響，標準電池的電動勢未作溫度校正等。
3）由於實驗者生理或心理特點、缺乏經驗等而產生誤差。例如有些人習慣於側坐斜視讀數，眼睛辨色能力較差等，使測量值偏大或偏小。
減小系統誤差是實驗技能問題，應盡可能採取各種措施將它減小到最低程度。例如將儀器進行校正，改變實驗方法或者在計算公式中列入一些修正項以消除某些因素對實驗結果的影響，糾正不良習慣等。
能否識別或降低系統誤差與實驗者的經驗和實際知識有密切的關係。學生在實驗過程中要逐步積累這方面的感性知識，結合實驗的具體情況對系統誤差進行分析和討論。因在設計實驗儀器和實驗原理時，系統誤差已被減小到最小程度，所以大學物理實驗課中不要求學生對實驗系統進行修正。
（2）隨機誤差（又稱偶然誤差）
在相同條件下，對同一物理量進行重複多次測量，即使系統誤差減小到最小程度之後，測量值仍然出現一些難以預料和無法控制的起伏，而且測量值誤差的絕對值和符號在隨機地變化著。這種誤差稱為隨機誤差。
隨機誤差主要**於人們視覺、聽覺和觸角等感覺能力的限制以及實驗環境偶然因素的干擾。例如溫度、濕度、電源電壓的起伏、氣流波動以及振動等因素的影響。從個別測量值來看，它的數值帶有隨機性，似乎雜亂無章。
但是，如果測量次數足夠多的話，就會發現隨機誤差遵循一定的統計規律，可以用概率理論估算它。
（3）過失誤差
在測量中還可能出現錯誤，如讀數錯誤、記錄錯誤、估算錯誤、操作錯誤等因素引起的誤差，稱為過失誤差。過失誤差已不屬於正常的測量工作範疇，應當盡量避免。克服錯誤的方法，除端正工作態度，嚴格工作方法外，可用與另一次測量結果相比較的辦法發現糾正，或者運用異常資料剔除準則來判別因過失而引入的異常資料，並加以剔除。
3、正確度、精密度和準確度
正確度、精密度和準確度是評價測量結果優劣的三個述語。
測量結果的正確度是指測量值與真值的接近程度。正確度高，說明測量值接近真值程度好，即系統誤差小。可見，正確度是反映測量結果系統誤差大小的述語。
測量結果的精密度是指重複測量所得結果相互接近的程度。精密度高，說明重複性好，各個測量誤差的分布密集，即隨機誤差小。可見，精密度是反映測量結果隨機誤差大小的術語。
測量結果的準確度是指綜合評定測量結果重複性與接近真值的程度。準確度高，說明精密度和正確度都高。可見，準確度反映隨機誤差和系統誤差的綜合效果。
在實驗中系統誤差已被減小到最小程度，所以，誤差計算主要是估算隨機誤差，因此往往不再嚴格區分精密度和準確度，而泛稱精度。
4、絕對誤差、相對誤差和百分差
誤差的表示形式，有絕對誤差和相對誤差之分。絕對誤差±δx表示測量結果x與真值之間的差值以一定的可能性（概率）出現的範圍，即真值以一定可能性（概率）出現在至區間內。僅僅根據絕對誤差的大小還難以評價乙個測量結果的可靠程度，還需要看測量值本身的大小，為此引入相對誤差的概念。
相對誤差
表示絕對誤差在整個物理量中所佔的比重，一般用百分比表示。例如，一長度測量值是1000公尺，而絕對誤差為1公尺。另一長度測量值為100厘公尺，而絕對誤差為1厘公尺。
後者的相對誤差為1%，前者的相對誤差為0.1%，所以，前者較後者更可靠。
如果待測量有理論值或公認值，也可用百分差表示測量的好壞。即百分差
絕對誤差、相對誤差和百分差通常只取1～2位數字來表示。
2.2 隨機誤差的高斯分布與標準誤差
隨機性是隨機誤差的特點。也就是說，在相同條件下，對同一物理量進行多次重複測量，每次測量值的誤差時大時小，對某一次測量值來說，其誤差的大小與正負都無法預先知道，純屬偶然。但是，如果測量次數相當多的話，隨機誤差的出現仍服從一定的統計規律。
根據實驗情況的不同，隨機誤差出現的分布規律有高斯分布（即正態分佈）、t分布、均勻分布以及反正弦分布等等。按大綱要求，僅介紹隨機誤差的高斯分布。
1．高斯分布的特徵和數學表述
遵從高斯分布規律的隨機誤差具有下列四大特徵：
（1）單峰性絕對值小的誤差出現的可能性（概率）大，大誤差出現的可能性小。
（2）對稱性大小相等的正誤差和負誤差出現的機會均等，對稱分布於真值的兩側。
（3）有界性非常大的正誤差或負誤差出現的可能性幾乎為零。
（4）抵償性當測量次數非常多時，正誤差和負誤差相互抵消，於是，誤差的代數和趨向於零。
高斯分布的特徵可以用高斯分布曲線形象地表示出來，見圖2-2-1（a）。橫座標為誤差δ，縱座標為誤差的概率密度分布函式。根據誤差理論可以證明函式的數學表述式為：
（2-2-1）
測量值的隨機誤差出現在δ到δ+dδ區間內的可能性(概率)為f(δ)dδ,即圖2-2-1(a)中陰影線所包含的面積元。上式中的σ是乙個與實驗條件有關的常數，稱為標準誤差。其量值為
式中，n為測量次數，各次測量值的隨機誤差為，,2,3,…n。可見標準誤差是將各個誤差的平方取平均值，再開方得到，所以，標準誤差又稱為均方根誤差。
2．標準誤差的物理意義
由式（2-2-1）可知，隨機誤差正態分佈曲線的形狀取決於σ值的大小，如圖（2-2-1）b所示。σ值愈小，分布曲線愈陡峭，峰值愈高，說明絕對值小的誤差占多數，且測量值的重複性好，分散小；反之，σ值愈大，曲線愈平坦峰值愈低，說明測量值的重複性差，分散性大。標準誤差反映了測量值的離散程度。
由於f(δ)dδ是測量值隨機誤差出現在小區間（δ，δ+dδ）的可能性（概率），那麼，測量值誤差出現在區間（-σ，σ）內的可能性（概率）就是
這說明對任意一次測量，其測量值誤差出現在到σ區間內的可能性（概率）為68.3%。也就是說，假如我們對某一物理量在相同條件下進行了1000次測量，那麼，測量值誤差可能有683次落在到σ區間內。
注意標準誤差的統計意義，它並不表示任一次測量值的誤差就是±σ，也不表示誤差不會超出±σ的界限。標準誤差只是乙個具有統計性質的特徵量，用以表徵測量值離散程度的乙個特徵量。
3．極限誤差
與上述相仿，同樣可以計算，在相同條件下對某一物理學量進行多次測量，其任意一次測量值的誤差落在-3σ到3σ區域之間的可能性（概率）。其值為
也就是說，在1000次測量中，可能有3次測量值的誤差絕對值會超過3σ。在通常的有限次測量情況下，測量次數很少超過幾十次，因此測量值的誤差超出±3σ範圍的情況幾乎不會出現，所以把3σ稱為極限誤差。
在測量次數相當多的情況下，如出現測量值的誤差的絕對值大於3σ的資料，可以認為這是由於過失而引起的異常資料而加以剔除。但是，對於測量次數較少的情況，這種判別方法就不可靠，而需要採用另外的判別準則。
2．3 近真值—算術平均值
儘管乙個物理量的真值是客觀存在的，然而，即使對測量值已進行了系統誤差的修正，也會由於隨機誤差的存在，企圖得到真值的願望仍不能實現。那麼，是否能夠得到乙個測量結果的最佳值，或者說得到乙個最接近真值的數值（近真值）呢？這個近真值又如何來求得？
根據隨機誤差具有抵償性的特點，誤差理論可以證明，如果對乙個物理量測量了相當多次，那麼算術平均值就是接近真值的最佳值。
設在相同條件下對乙個物理量進行了多次測量，測量值分別為，，，…，，各次測量值的隨機誤差分別為，，，…，，並用tx表示該物理量的真值。根據誤差的定義有
=-tx ， =-tx ， =-tx ，…， =-tx
將以上各式相加，得
或2-3-1)
用代表算術平均值,即
(2-3-2)
式(2-3-1)可改寫為
2-3-3)
根據隨機誤差的抵償性特徵,當測量次數n相當多時,由於正、負誤差相互抵消，各個誤差的代數和趨近於零，即
於是有由此可見，測量次數愈多，算術平均值接近真值的可能性愈大。當測量次數相當多時，算術平均值是真值的最佳值，即近真值。
第三章誤差與資料處理
一 單選題 1 下列資料中，有3位有效數字的是 a.ph 4.38 b.0.020 c.1.08 d.6.2 10 5 2 考慮有效數字計算下式 0.00012 0.125 8.3 a.1.0 b.1.04 c.1.0385 d.都不對 3 對於偶然誤差，下列說法錯誤的是 a.偶然誤差的產生難以找到...
廣州地鐵沉降監測方法及資料處理
摘要 廣州是軌道交通工程在建專案較多的城市,沉降監測對地鐵工程的安全施工有著重要意義,同時監測資料能夠直接用來評價地鐵施工對地表環境的影響。重點論述了廣州地鐵沉降監測的方法與技術要求,闡述了資料處理和統計分析 並給出了變形預報分析的數學方法,說明了其現實意義。關鍵詞 沉降監測 dsz 精密水準儀 資...
第二章工作分析
15 工作分析簡史 選擇 1 古代的工作分析思想工作分析的思想萌芽在蘇格拉底時代，蘇格拉底提出人與工作匹配的最初思想。2 近代的工作分析思想現代工作分析思想起源於美國。泰羅對工作分析研究的主要貢獻是 尋找最佳的工作方法。採用物質刺激來維持工人的積極性。第一次世界大戰期間，美國設立了 軍隊人事分類委員...