導數解答題題型歸類及解題分析方法
二．單調性問題
題型1 求函式的單調區間。
求含參函式的單調區間的關鍵是確定分類標準。分類的方法有：
（1）在求極值點的過程中，極值點與區間的關係不定而引起分類等；
（2）在求極值點的過程中，有無極值點引起的分類（涉及到二次方程問題時，△與0的關係不定）；
(3) 在求極值點的過程中，極值點的大小關係不定而引起的分類；
(4) 在求極值點的過程中，未知數的係數與0的關係不定而引起的分類；
注意分類時必須從同一標準出發，做到不重複，不遺漏。
題型2 已知函式在某區間是單調，求引數的範圍問題。
方法1：導函式討論法，分類討論導函式值的正負。
方法2：轉化恆成立。轉化為在給定區間上恆成立問題，
方法3：子集法。首先求出函式的單調增區間或減區間，然後讓所給區間是求的增或減區間的子集（即子集思想）。
注意：「函式在上是減函式」與「函式的單調減區間是」的區別是前者是後者的子集。
題型3 已知函式在某區間的不單調，求引數的範圍問題。
方法1：正難則反，研究在某區間是單調的
方法2:研究導函式的零點問題，再檢驗。
方法3:直接研究不單調，分情況討論。
舉例練習
題型1 求函式的單調區間。
求含參函式的單調區間的關鍵是確定分類標準。分類的方法有：
（1）在求極值點的過程中，極值點與區間的關係不定而引起分類等；
（2）在求極值點的過程中，有無極值點引起的分類（涉及到二次方程問題時，△與0的關係不定）；
(3) 在求極值點的過程中，極值點的大小關係不定而引起的分類；
(4) 在求極值點的過程中，未知數的係數與0的關係不定而引起的分類；
注意分類時必須從同一標準出發，做到不重複，不遺漏。
例 1已知函式，其中.求的單調區間；
分析：，令，得，或.點在數軸上有5種可能（紅點）
當.,即； 當.,即； 當.,即； 當.,即； 當.,即
解：① 當時，.故的單調增區間是；單調減區間是.
② 當時，令，得，或.
當時，與的情況如下：
所以，的單調增區間是；單調減區間是和.
當時，的單調減區間是.當時，，與的情況如下：
所以，的單調增區間是；單調減區間是和.
③ 當時，的單調增區間是；單調減區間是.綜上，當時，的增區間是，減區間是；當時，的增區間是，減區間是和；當時，的減區間是；當時，的增區間是；減區間是和.
練習1. 已知函式=ln(1+)-+(≥0).求的單調區間.
解：，. （分類標準分子是否為二次函式，與-1,0的關係）當時，.所以，在區間上，；在區間上，. 故得單調遞增區間是，單調遞減區間是.當時，由，得，
所以，在區間和上，；在區間上，
故得單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
當時， 故得單調遞增區間是.
當時，，得，.
所以沒在區間和上，；在區間上，
故得單調遞增區間是和，單調遞減區間是
2.已知函式.當時，討論的單調性；
解 ，令
①當時，，當,函式單調遞減；當，函式單調遞增.
②當時，由，即，解得.
當時，恆成立，此時，函式單調遞減；
當時，,時，函式單調遞減；
時，，函式單調遞增；
時，，函式單調遞減.
當時，當,函式單調遞減；
當，函式單調遞增.
綜上所述：當時，函式在單調遞減，單調遞增；
當時,恆成立,此時，函式在單調遞減；
當時,函式在遞減,遞增,遞減.
3.已知函式
（1）求函式的單調區間。（利用極值點的大小關係分類）
（2）若，求函式的單調區間。（利用極值點與區間的關係分類）
4. 已知函式，若,求函式的單調區間。（利用極值點的大小關係、及極值點與區間的關係分類）
題型2 已知函式在某區間是單調，求引數的範圍問題。
方法1：導函式討論法，分類討論導函式值的正負。
方法2：轉化恆成立。轉化為在給定區間上恆成立問題，
方法3：子集法。首先求出函式的單調增區間或減區間，然後讓所給區間是求的增或減區間的子集（即子集思想）。
注意：「函式在上是減函式」與「函式的單調減區間是」的區別是前者是後者的子集。
例 1 已知函式
若在(0,4)上為單調函式，求的取值範圍。
方法為轉化恆成立
例2 設函式，且，其中是自然對數的底數.
⑴求與的關係；
⑵若在其定義域內為單調函式，求的取值範圍；
解：（1）由題意得
而，所以、的關係為.
（2）由（1）知，
.令，要使在其定義域內單調，只需恆成立.
導函式討論法
①當時，，因為＞，所以＜0，＜0，
∴在內是單調遞減函式，即適合題意；
②當＞0時，，∴，
只需，即，
∴在內為單調遞增函式，故適合題意.
③當＜0時，，其影象為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恆成立，故＜0適合題意
綜上所述，的取值範圍為.
例32015重慶高考理科數學20題：
設函式若在上為減函式，求的取值範圍。
解法一：討論法
，因在上為減函式，則，即，設，因，只需滿足且，解得
解法二：恆成立
，因在上為減函式，則，又，有，設，，函式在上是減函式， 所以
練習 1.已知=ln(x+2)－x2+bx+c，若在區間[0,m]上單調，求b的取值範圍.
解：若在區間[0，m]上單調，有兩種可能
①令≥0得b≥2x－，在[0，m]上恆成立
而y=2x－在[0，m]上單調遞增，最大值為2m－，∴b≥2m－.
②令≤0 得b≤2x－，
而 y=2x－在[0，m]單增，最小為y=－，∴b≤－.
故b≥2m－或b≤－時在[0，m]上單調.
2.已知函式，若在定義域內單調遞減，求滿足此條件的實數k的取值
範圍.解：的定義域為(0，+∞)，
由g (x)在定義域內單調遞減知：在(0，+∞)內恆成立
令，則由∵當時為增函式,當時，為減函式
∴當x = e時，h(x)取最大值故只需恆成立，
又當時，只有一點x = e使得不影響其單調性
3.已知函式+在上是單調函式，求實數的取值範圍．（答案）
4.已知函式，且在區間上為增函式．求實數的取值範圍。（答案：）
5.已知函式，函式是區間[-1，1]上的減函式.
（i）求的最大值；
解：（i），上單調遞減，
在[-1，1]上恆成立，，故的最大值為
6. 已知函式，其中ｅ是自然數的底數，。若在［－１，１］上是單調增函式，求的取值範圍；。
解，①當時，，在上恆成立，當且僅當時取等號，故符合要求；
②當時，令，因為，所以有兩個不相等的實數根，，不妨設，因此有極大值又有極小值．若，因為，所以在內有極值點，故在上不單調．
若，可知，因為的圖象開口向下，要使在上單調，因為，
必須滿足即所以.綜上可知，的取值範圍是．
題型3 已知函式在某區間的不單調，求引數的範圍問題。
方法1：正難則反，研究在某區間的單調的。
方法2:研究導函式的零點問題，再檢驗。
方法3:直接研究不單調，分情況討論。
例1.已知函式 ．
（i）若函式的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是，求的值； （ii）若函式在區間上不單調，求的取值範圍．
解析 （ⅰ）由題意得
又 ，解得，或
（ⅱ）函式在區間不單調，等價於導函式在既能取到大於0的實數，又能取到小於0的實數即函式在上存在零點，根據零點存在定理，有
， 即：
整理得：，解得
練習 1.已知函式，，．
（1）若函式在區間上不是單調函式，試求的取值範圍；
解法一：由題意知，在區間內有不重複的零點．故只需滿足：，即∴
法二：由題意知，在區間內有不重複的零點．由，得，∵， ∴．令，則，故在區間上是增函式，其值域為，從而的取值範圍為．
2.設函式，在區間內不單調，求實數的取值範圍。
（答案：））
高考導數壓軸題型歸類總結
目錄一 導數單調性 極值 最值的直接應用 1 二 交點與根的分布 23 三 不等式證明 31 一 作差證明不等式 二 變形建構函式證明不等式 三 替換構造不等式證明不等式 四 不等式恆成立求字母範圍 51 一 恆成立之最值的直接應用 二 恆成立之分離常數 三 恆成立之討論字母範圍 五 函式與導數性質...
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