2013-2014下學期高一數學試題（3）
一.選擇題
1.函式的影象的一條對稱軸方程是
abcd．
2.乙個四面體的所有稜長為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）
ab c d
3. （ ）
a． b. c. d.
4.如圖，在稜長為4的正方體abcd-a1b1c1d1中，p是a1b1上一點，
且pb1＝a1b1，則多面體p-bcc1b1的體積為（ ）
a． b. cd.
5.若均為銳角，（ ）
a． b. c. d.
6． 兩直線l1與l2異面，過l1作平面與l2平行，這樣的平面( )．
a．不存在 b．有唯一的乙個 c．有無數個 d．只有兩個
7.不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有
a．3個b．4個c．6個d．7個
8．把正方形abcd沿對角線ac折起，當以a，b，c，d四點為頂點的三稜錐體積最大時，直線bd和平面abc所成的角的大小為( )．
a．90° b．60° c．45° d．30°
9.下列說法中不正確的是( )．
a．空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形
b．同一平面的兩條垂線一定共面
c．過直線上一點可以作無數條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同乙個平面內
d．過一條直線有且只有乙個平面與已知平面垂直
10.給出以下四個命題：
①如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的乙個平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行 ②如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面 ③如果兩條直線都平行於乙個平面，那麼這兩條直線互相平行 ④如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼些兩個平面互相垂直
其中真命題的個數是( )．
a．4b．3c．2d．1
二．填空題
11.的值是______
12.在△abc中，已知∠a=60°，ab:ac=8:5，面積為，則其周長為
13.α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線,給出四個論斷：
① m nm β ④ n α
以其中三個論斷作為條件，餘下乙個論斷作為結論，寫出你認為正確的乙個命題：_______
14.如圖，在正三角形abc中，d，e，f分別為各邊的中點，g，h，i，j分別為af，ad，be，de的中點，將△abc沿de，ef，df折成三稜錐以後，gh與ij所成角的度數為 ．
15.在三稜錐a-bcd中，p、q分別在稜ac、bd上，連線aq、cq、bp、pq，若三稜錐a-bpq、b-cpq、c-dpq的體積分別為6、2、8，則三稜錐a-bcd的體積為
3、解答題
16.．化簡下列各式：
（1）， （2）。
17. 如圖1所示，在四面體p—abc中，已知pa=bc=6，pc=ab=10，ac=8，pb=.f是線段pb上一點，，點e**段ab上，且ef⊥pb.
（ⅰ）證明：pb⊥平面cef；
（ⅱ）求二面角b—ce—f的正切值.
18. 已知正三稜錐的體積為，側面與底面所成的二面角的大小為。
（1）證明：；
（2）求底面中心到側面的距離.
19.已知向量滿足,令.
⑴求（用表示）；
⑵當時,對任意的恆成立，求實數的取值範圍。
20.如圖, 在直三稜柱中， ，點為的中點
(ⅰ)求證;
(ⅱ) 求證;ac1//平cdb1
(ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值
21.已知四稜錐p-abcd的底面為直角梯形，ab∥dc，底面abcd，pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中點
（ⅰ）證明：面pad⊥面pcd；
（ⅱ）求ac與pb所成的角；
（ⅲ）求面amc與面bmc所成二面角的余弦值
周考三參***
一. 選擇題
二.填空題11.4; 12.20; 13. ②③④①或①③④②;14.; 15.40.
三.解答題
16.解: (1) (2) 1
17.[解]（i）證明：
∵∴△pac是以∠pac為直角的直角三角形，同理可證
△pab是以∠pab為直角的直角三角形，△pcb是以∠pcb為直角的直角三角形
故pa⊥平面abc又∵而故cf⊥pb,又已知ef⊥pb∴pb⊥平面cef
（ii）由（i）知pb⊥ce, pa⊥平面abc∴ab是pb在平面abc上的射影，故ab⊥ce在平面pab內，過f作ff1垂直ab交ab於f1，則ff1⊥平面abc，ef1是ef在平面abc上的射影，∴ef⊥ec
故∠feb是二面角b—ce—f的平面角二面角b—ce—f的大小為
18 [證明]（1）取邊的中點，連線、，則，，故平面. ∴.
（2）如圖， 由（1）可知平面平面，則是側面與底面所成二面角的平面角.
過點作為垂足，則就是點到側面的距離.
設為，由題意可知點在上即底面中心到側面的距離為3.
19.解(1)
(2)20. [解]（）直三稜柱abc－a1b1c1，底面三邊長ac=3，bc=4，ab=5，
∴ ac⊥bc，且bc1在平面abc內的射影為bc，∴ ac⊥bc1；
（）設cb1與c1b的交點為e，鏈結de，
∵ d是ab的中點，e是bc1的中點de//ac1，
∵ de平面cdb1，ac1平面cdb1， ∴ ac1//平面cdb1；
（）∵ de//ac1ced為ac1與b1c所成的角，
在△ced中，ed=ac 1=，cd=ab=，ce=cb1=2，
∴，∴ 異面直線 ac1與 b1c所成角的余弦值.
（iii）由（ii）可知，在正方形abcd中，bg=dg，d到平面acb的距離等於b到平面ace的距離，bf⊥平面ace，線段bf的長度就是點b到平面ace的距離，即為d到平面ace的距離所以d到平面的距離為
另法：過點e作交ab於點o. oe=1.
∵二面角d—ab—e為直二面角，∴eo⊥平面abcd.
設d到平面ace的距離為h，
平面bce，
∴點d到平面ace的距離為
21.[解] 本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識及思維能力和空間想象能力.考查應用向量知識解決數學問題的能力
方案一：
（ⅰ）證明：∵pa⊥面abcd，cd⊥ad，
∴由三垂線定理得：cd⊥pd.
因而，cd與面pad內兩條相交直線ad，pd都垂直，
∴cd⊥面pad.
又cd面pcd，∴面pad⊥面pcd.
（ⅱ）解：過點b作be//ca，且be=ca， 則∠pbe是ac與pb所成的角.
鏈結ae，可知ac=cb=be=ae=，又ab=2，
所以四邊形acbe為正方形. 由pa⊥面abcd得∠peb=90°
在rt△peb中be=，pb=，
（ⅲ）解：作an⊥cm，垂足為n，鏈結bn.
在rt△pab中，am=mb，又ac=cb， ∴△amc≌△bmc,
∴bn⊥cm，故∠anb為所求二面角的平面角
∵cb⊥ac，由三垂線定理，得cb⊥pc，
在rt△pcb中，cm=mb，所以cm=am.
在等腰三角形amc中，an·mc=，
ab=2，
故所求的二面角為
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