2023年廣州市卡西歐杯高二數學競賽試卷
一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分．
（1）是橢圓的焦點，在上滿足的點的個數為（ ）
(a) 1個b) 2個c) 3個d) 4個
（2）已知實數集合a滿足條件：若，則，則中所有元素的乘積的值為（ ）
(ab) (cd) 與的取值有關
（3）若的三邊長、、滿足且，則它的最大內角的度數是（ ）
(a) (bcd)
（4）已知定點和拋物線，動點和分別在軸上和拋物線上，若（其中o為座標原點），則的最小值為（ ）
(abcd)
二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分．
（5）高二數學競賽獲一等獎的人數在到人之間，頒獎典禮上給獲一等獎的學生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，則獲一等獎的人數有人．
（6）若函式的影象經過點，試寫出兩個滿足上述條件的函式的解析式
（7）已知點在直線上，則的最小值為 ．
（8）正三稜錐中，，，過點作平面分別交、於、，則的周長的最小值為
（9）現代社會對破譯密碼的要求越來越高，有一種密碼把英文的明文（真實文）按字母分解，其中英文的、、、…、的26個字母（不論大小寫）依次對應1、2、3、…、
26這26個自然數，見**：
給出如下乙個變換公式：
將明文轉換成密文，如即變為；即變為．
按上述規定，明文good的密文是密文的明文是
（10）對一切實數，所有的二次函式的值均為非負實數，
則的最大值是
三、解答題：本大題共5小題，共90分．要求寫出解答過程．
（11）（本小題滿分15分）
已知函式（為常數）．
（ⅰ）求函式的最小正週期，並指出其單調減區間；
（ⅱ）若函式在上恰有兩個的值滿足，試求實數的取值範圍．
（12）（本小題滿分15分）
如圖，點是矩形所在平面外一點且平面，，．
（ⅰ）求證：平面平面；
（ⅱ）若是的中點，求異面直線與所成角的余弦值；
（ⅲ）在邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為1．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（13）（本小題滿分20分）
如圖，將一塊直角三角形板放置於平面直角座標系中，已知，．點是三角板內一點，現因三角板中陰影部分（即△pob）受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經過點的任一直線將三角板鋸成，設直線的斜率為．
（ⅰ）試用表示的面積，並指出的取值範圍；
（ⅱ）試求的最大值．
（14）（本小題滿分20分）
已知數列的各項均為正數，且，當時，都有，記……．
（ⅰ）試求數列的通項公式；
（ⅱ）證明：；
（ⅲ）令，……，試比較與的大小．
（15）（本小題滿分20分）
設定義在上的函式，當時，取得極大值，並且函式的圖象關於點對稱．
（ⅰ）求的表示式；
（ⅱ）試在函式的影象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫座標都在區間上；
（ⅲ）若， ，求證：．
2023年廣州市卡西歐杯高二數學競賽參***
1、 ，當時，；當時，
故第項的值是
2、 由，
故3、得，化簡得
故，故4、 設，，則，則或
當時當時，過作準線的垂線，垂足為
則5、 除以餘的數的集合，經檢驗，只有44滿足題意
6、，，，，
，，，，……7、設，則當直線與圓相切時取得最小值，此時
8、將正三稜錐展開（如圖所示
易知為的周長的最小值
依題意有，故
9、故密文的明文是
10、 設，則
依題意有，，即，即
故當且僅當即時取等號
11、解：
（１），其單調減區間為
（２）令，則，設
要使在上恰有兩個的值滿足
則，解得
12、解：
（１）因平面，面，故麵麵
因四邊形是矩形，故
因麵面，故面
因麵，故平面平面
（２）取中點，鏈結、
因是的中點，故，所以或它的補角是與所成的角．
易得，，
故故與所成角的余弦值為
（３）假設點存在，過點作於
因為面面，面面
所以面，即2
如圖，易知11
則故存在一點當時使點d到平面paq的距離為1
13、解：
（１）： ：
求得 於是
所以易知，故
（２）所以當或時取得極值
因為當時，，故在上是減函式
所以當時，取得最大值
14、解：
（１）當時，
各式相加得
求得又當時，滿足上式，故
（２）（３）當時，
當時，當時，猜想當時，，以下用數學歸納法證明:
①當時，左邊右邊，命題成立
②假設當時，，即
當時，命題成立
故當時，
綜上所述，當時，
當時，當時，15、解：
（１）因的圖象關於點對稱
故的圖象關於原點對稱
故，易得
因為時有極值，所以時也有極值故
故，又由得
故，，故
（２）設這兩個切點分別為，並且
依題意有因且故
由(*)式得，即
故，解得或
同理可得或
又因為當與同時成立時與(*)式矛盾
所以或故，或，
即所求的兩點為或
（３）故當或時，；當時，
故的單調遞增區間為
的單調遞減區間為 因故
即，故因
，，故，故故
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通知各區 縣級市 教育局教研室 發展中心 各中學 為了激發我市中學生學習數學的興趣，積極思考 主動 的創新精神，營造學習數學 應用數學 喜愛數學的文化氛圍，進一步提高我市中學生的數學素養和使用 手持技術 解決數學問題的能力。由廣州市教育局教研室數學科與廣州市中學數學教學研究會聯合舉辦了廣州市中學生數...
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