上海交大附中2014-2015學年度第一學期
高三數學期中試卷
2014.11
一. 填空題
1. 已知等比數列滿足，，則 ；
2. 不等式的解集是 ；
3. 設集合，，若，則 ；
4. 已知函式，則方程的解為 ；
5. 方程的解集是 ；
6. 函式的單調遞減區間是 ；
7. 若函式的影象與的影象關於軸對稱，則 ；
8. 已知等差數列中，，當且僅當時，前項和取得最大值，則公差
的取值範圍是 ；
9. 已知函式是奇函式，則 ；
10. 不等式對一切恆成立，則符合要求的自然數有個
11. 在△中，銳角所對的邊，△的面積，外接圓半徑，
則△的周長 ；
12. 若函式無零點，則的取值範圍為 ；
13. 已知，若，則的取值範圍為 ；
14. 已知函式滿足：①對任意，恒有成立；②當時，，若，則滿足條件的最小的正實數是 ；
二. 選擇題
15.「函式在上為單調函式」是「函式在上有最大值和最小值」的（ ）
a. 充分非必要條件 b. 必要非充分條件
c. 充要條件d. 既非充分也非必要條件
16. 若，有下面四個不等式：①；②；③；④；
其中不正確的不等式有（ ）
a. 0個b. 1個c. 2個d. 3個
17. 已知數列滿足，，則的最小值為（ ）
a. 8b. 7c. 6d. 5
18. 設函式，的零點分別為與，則（ ）
a. b. c. d.
三. 解答題
19. 關於的不等式的解集為，不等式的解集為，若，
求實數的取值範圍；
20. 已知函式的最大值為，最小正週期
為；（1）求的值與的解析式；
（2）若△的三條邊為滿足，邊所對的角為，求的取值範圍及函式的值域；
21. 市場上有一種新型的強力洗衣液，特點是去汙速度快，已知每投放個單位
的洗衣液在一定量水的洗衣機中，它在水中釋放的濃度克/公升隨著時間分鐘變化
的函式關係式近似為，其中，若多次投放，則某
一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中洗衣液的濃度不低於4克/公升時，它才能起到有效去汙的作用；
（1）若只投放一次4個單位的洗衣液，則有效去汙時間可達幾分鐘？
（2）若第一次投放2個單位的洗衣液，6分鐘後再投放個單位的洗衣液，要使接下來的4分鐘裡能夠持續有效去汙，試求的最小值按四捨五入精確到0.1
22. 設等差數列的前項和為，已知，；
（1）求的表示式；
（2）設為數列的前項積，是否存在實數，使得不等式對一
切都成立？若存在，求出的取值範圍；若不存在，請說明理由；
（3）將數列依次按1項，2項，3項，1項，2項，3項迴圈地分為，，，，，，…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前後順序構成的數列為，求；
23. 已知函式， ；
（1）若，求在上的最小值；
（2）若對於任意的實數恆成立，求的取值範圍；
（3）當時，求函式在上的最小值；
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