1. （17北京中考）在等腰直角△abc中，∠acb=90°，p是線段bc上一動點（與點b、c不重合），連線ap，延長bc至點q，使得cq=cp，過點q作qh⊥ap於點h，交ab於點m．
（1）若∠pac=α，求∠amq的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示線段mb與pq之間的數量關係，並證明．
2. （12北京中考）在△abc中，ba=bc，∠bac=α，m是ac的中點，p是線段bm上的動點，將線段pa繞點p順時針旋轉2α得到線段pq．
（1）若α=60°，且點p與點m重合（如圖1），線段cq的延長線交射線bm於點d，此時∠cdb的度數為______
（2）在圖2中，點p不與點b、m重合，線段cq的延長線交射線bm於點d，則∠cdb的度數為（用含α的代數式表示）______．
（3）對於適當大小的α，當點p**段bm上運動到某一位置（不與點b、m重合）時，能使得線段cq的延長線與射線bm交於點d，且pq=dq，則α的取值範圍是______．
3. 如圖，在等邊三角形abc的三邊上，分別取點d，e，f，使得△def為等邊三角形，求證：ad=be=cf．
4. 在等邊外作射線，使得和在直線的兩側，（[^{}<α<180{}^{}', 'altimg': '', 'w':
'111', 'h': '25', 'omath': '0<α<180'}]），點關於直線的對稱點為，連線，．
（1）依題意補全圖1；（2）在圖1中，求的度數；（3）直接寫出使得是等腰三角形的的值．
5. 如圖，等邊三角形abc的邊長為3，點d是線段bc上的點，cd＝2，以ad為邊作等邊三角形ade，連線ce．求ce的長．
6. 如圖，在△abc中，bc的垂直平分線交bc於點d，交ab延長線於點e，連線ce．求證：∠bce=∠a+∠acb．
7. 閱讀下面材料：
小聰遇到這樣乙個有關角平分線的問題：如圖1，在△abc中，∠a=2∠b，cd平分∠acb，ad=2.2，ac=3.6
求bc的長．
小聰思考：因為cd平分∠acb，所以可在bc邊上取點e，使ec=ac，連線de．這樣很容易得到△dec≌△dac，經過推理能使問題得到解決（如圖2）．
請回答：（1）△bde是______三角形．
（2）bc的長為______．
參考小聰思考問題的方法，解決問題：
如圖3，已知△abc中，ab=ac，∠a=20°，bd平分∠abc，bd=2.3，bc=2．求ad的長．
答案和解析
1.【答案】解：（1）∠amq=45°+α；理由如下：
∵∠pac=α，△acb是等腰直角三角形，
∴∠bac=∠b=45°，∠pab=45°-α，
∵qh⊥ap，
∴∠ahm=90°，
∴∠amq=180°-∠ahm-∠pab=45°+α；
（2）pq=[', 'altimg': '', 'w': '26', 'h': '29', 'omath': '2'}]mb；理由如下：
連線aq，作me⊥qb，如圖所示：
∵ac⊥qp，cq=cp，
∴∠qac=∠pac=α，
∴∠qam=45°+α=∠amq，
∴ap=aq=qm，
在△apc和△qme中，[∠mqe=∠pac&\\\\ ∠acp=∠qem&\\\\ ap=qm&\\end}\\right.', 'altimg': '', 'w':
'137', 'h': '114', 'omath': '∠mqe=∠pac∠acp=∠qemap=qm'}]，
∴△apc≌△qme（aas），
∴pc=me，
∴△aeb是等腰直角三角形，
∴[', 'altimg': '', 'w': '16', 'h':
'43', 'omath': '12'}]pq=[}', 'altimg': '', 'w':
'28', 'h': '52', 'omath': '22'}]mb，
∴pq=[', 'altimg': '', 'w': '26', 'h': '29', 'omath': '2'}]mb．
【解析】（1）由等腰直角三角形的性質得出∠bac=∠b=45°，∠pab=45°-α，由直角三角形的性質即可得出結論；
（2）連線aq，作me⊥qb，由aas證明△apc≌△qme，得出pc=me，△aeb是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質即可得出結論．
本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．
2.【答案】30°；90°-α；45°＜α＜60°
【解析】解：（1）如圖1，∵ba=bc，∠bac=60°，
∴ab=bc=ac，∠abc=60°，
∵m為ac的中點，
∴mb⊥ac，∠cbm=30°，am=mc．
∵pq由pa旋轉而成，
∴ap=pq=qm=mc．
∵∠amq=2α=120°，
∴∠mcq=60°，∠qmd=30°，
∴∠mqc=60°．
∴∠cdb=30°．
故答案為：30°；
（2）如圖2，連線pc，
∵由（1）得bm垂直平分ac，
∴ap=pc，∠adb=∠cdb，∠pad=∠pcd，
又∵pq=pa，
∴pq=pc=pa，
∴q，c，a在以p為圓心，pa為半徑的圓上，
∴∠acq=[', 'altimg': '', 'w': '16', 'h': '43', 'omath': '12'}]∠apq=α，
∴∠bac=∠acd，
∴dc∥ba，
∴∠cdb=∠abd=90°-α．
故答案為：90°-α；
（3）∵∠cdb=90°-α，且pq=qd，
∴∠pad=∠pcq=∠pqc=2∠cdb=180°-2α，
∵點p不與點b，m重合，
∴∠bad＞∠pad＞∠mad，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案為：45°＜α＜60°．
（1）由條件可得出ab=bc=ac，再利用旋轉可得出qm=mc，證得cb=cd=ba，再由三角形外角的性質即可得出結論；
（2）由（1）可得bm為ac的垂直平分線，結合條件可以得出q，c，a在以p為圓心，pa為半徑的圓上，由圓周角定理可得∠acq=[', 'altimg': '', 'w': '16', 'h':
'43', 'omath': '12'}]∠apq=α，可得出∠cdb和α的關係；
（3）借助（2）的結論和pq=qd，可得出∠pad=∠pcq=∠pqc=2∠cdb=180°-2α，結合∠bad＞∠pad＞∠mad，代入可得出α的範圍．
本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到菱形的判定和性質及圓周角定理、垂直平分線等知識的綜合應用，在（1）中掌握菱形的判定方法是解題的關鍵，在（2）中得出q、c、a三點共圓利用圓周角定理得出結論是解題的關鍵．
3.【答案】解：在等邊三角形abc中，∠a=∠b=60°．
∴∠afd+∠adf=120°．
∵△def為等邊三角形，
∴∠fde=60°，df=ed．
∵∠bde+∠edf+∠adf=180°，
∴∠bde+∠adf=120°．
∴∠bde=∠afd．
在△adf和△bed中，
[∠a=∠b\\\\ ∠afd=∠bde\\\\ df=ed\\end}\\right.', 'altimg': '', 'w':
'135', 'h': '114', 'omath': '∠a=∠b∠afd=∠bdedf=ed'}]，
∴△adf≌△bed．
∴ad=be，同理可證：be=cf．
∴ad=be=cf．
【解析】只要證明△adf≌△bed，得ad=be，同理可證：be=cf，由此即可證明．
本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬於中考常考題型
4.【答案】解：（1）補畫圖如下：
；（2）連線ap，如圖，
由點b關於直線ad的對稱點為p，可得ad垂直平分pb，
∴ap=ab，
∴∠pad=∠bad，
∵△abc是等邊三角形，
∴ab=ac，∠bac=60°，
∴ap=ac，
∴∠pc=∠acp，
在△apc中，
2∠apc+2∠pad+∠bac=180°，
∴∠apc+∠pad=60°，
∴∠bpc=30°；
（3）要使得△pbc為等腰三角形時，則的值為30°，75°，120°，165°.
【解析】本題考查的是等邊三角形的性質，三角形的內角和定理有關知識.
（1）首先根據題意補畫出該圖即可；
（2）利用等邊三角形的性質及三角形內角和定理找出角之間的數量關係，然後再進行解答即可；
（3）根據等腰三角形的性質進行求解即可.
5.【答案】證明：∵△ade與△abc都是等邊三角形，
∴ac=ab，ae=ad，∠dae=∠bac=60°，
∴∠dae+∠cad=∠bac+∠cad，
即∠cae=∠bad，
在△cae與△bad中，
[\\beginac=ab\\\\ ∠cae=bad\\\\ ae=ad\\end\\end}\\right.', 'altimg': '', 'w':
'121', 'h': '114', 'omath': 'ac=ab∠cae=badae=ad'}]，
∴△cae≌△bad（sas），
∴bd=ce，
∵bc=3，cd=2，
∴bd=1，
∴ce=1.
【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質及等邊三角形的性質，根據等邊三角形中隱含的條件可以得到證明三角形全等的一些條件．根據△ade與△abc都是等邊三角形，得到ac=ab，ae=ad，∠dae=∠bac=60°，從而得到∠dae+∠cad=∠bac+∠cad，即∠cae=∠bad，利用sas證得△cae≌△bad.
6.【答案】證明：∵bc的垂直平分線交bc於點d，交ab延長線於點e，
∴ce=be，
∴∠ecb=∠ebc，
∵∠ebc=∠a+∠acb，
∴∠bce=∠a+∠acb．
【解析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
根據線段垂直平分線的性質得到ce=be，根據等腰三角形的性質得到∠ecb=∠ebc，根據三角形的外角的性質即可得到結論．
7.【答案】（1）等腰；
（2）5.8；
∵△abc中，ab=ac，∠a=20°，
∴∠abc=∠c=80°，
∵bd平分∠b，
∴∠1=∠2=40°∠bdc=60°，
在ba邊上取點e，使be=bc=2，連線de，
則△deb≌△dbc，∴∠bed=∠c=80°，
∴∠4=60°，
∴∠3=60°，
在da邊上取點f，使df=db，連線fe，
則△bde≌△fde，
∴∠5=∠1=40°，be=ef=2，
∵∠a=20°，
∴∠6=20°，
∴af=ef=2，
∵bd=df=2.3，
∴ad=bd+bc=4.3．
【解析】解：（1）△bde是等腰三角形，
在△acd與△ecd中，[ac=ce\\\\ ∠acd=∠ecd\\\\ cd=cd\\end}\\right.', 'altimg': '', 'w':
'134', 'h': '114', 'omath': 'ac=ce∠acd=∠ecdcd=cd'}]，
∴△acd≌△ecd，
∴ad=de，∠a=∠dec，
∵∠a=2∠b，
∴∠dec=2∠b，
∴∠b=∠edb，
∴△bde是等腰三角形；
（2）見答案；
（2）（1）由已知條件和輔助線的作法，證得△acd≌△ecd，得到ad=de，∠a=∠dec，由於∠a=2∠b，推出∠dec=2∠b，等量代換得到∠b=∠edb，得到△bde是等腰三角形；
（2）在ba邊上取點e，使be=bc=2，連線de，得到△deb≌△dbc，在da邊上取點f，使df=db，連線fe，得到△bde≌△fde，即可推出結論．
本題考查了等腰三角形的性質和判定，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，根據題意正確的作出輔助線是解題的關鍵．
初二上學期數學教學總結
本學年主要擔任了初二 3 班的數學教學工作，經過一年的努力，取得了一些成績，也還存在些問題，現將本學年的工作總結如下 一 教學工作 進一步深入鑽研教學大綱和教材，認真學習和研究教學改革，認真分析學生的學習狀況，改變教學的方式 方法，堅持實施素質教育為根本點，重視基礎知識的傳授，認真完成教學內容。同時...
初二上學期數學教學計畫
初二的學生不同於初一，因為他們已經逐漸適應了學習環境，並且多多少少的都有了自己的一套學習方法，那麼幫助他們改正自己學習方法中不好的地方並且逐步建立起適合自己的學習方法就成了擺在我眼前的一大難題。所以我認為，糾錯 應該是我們接下來工作的重中之重。一 教材分析 教科書突出如下特點 1 學生提供現實，有趣...
初二上學期數學教學計畫
3.理解線段垂直平分線的概念，探索並證明線段垂直平分線的性質定理。4.了解等腰三角形的概念，探索並證明等腰三角形的性質定理。5.能初步應用本章所學的知識解釋生活中的現象及解決簡單的實際問題。第十四章 整式的乘法與因式分解 1 掌握正整數冪的乘 除運算性質，能用文字和符號語言正確地表述這些性質。2 會...