2023年中考圓
一．解答題（共29小題）
1．（2012常德）如圖，已知二次函式的圖象過點a（﹣4，3），b（4，4）．
（1）求二次函式的解析式：
（2）求證：△acb是直角三角形；
（3）若點p在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點p作ph垂直x軸於點h，是否存在以p、h、d為頂點的三角形與△abc相似？若存在，求出點p的座標；若不存在，請說明理由．
2．（2012資陽）如圖，在△abc中，ab=ac，∠a=30°，以ab為直徑的⊙o交bc於點d，交ac於點e，連線de，過點b作bp平行於de，交⊙o於點p，連線ep、cp、op．
（1）bd=dc嗎？說明理由；
（2）求∠bop的度數；
（3）求證：cp是⊙o的切線；
如果你解答這個問題有困難，可以參考如下資訊：
為了解答這個問題，小明和小強做了認真的**，然後分別用不同的思路完成了這個題目．在進行小組交流的時候，小明說：「設op交ac於點g，證△aog∽△cpg」；小強說：「過點c作ch⊥ab於點h，證四邊形chop是矩形」．
3．（2012珠海）已知，ab是⊙o的直徑，點p在弧ab上（不含點a、b），把△aop沿op對折，點a的對應點c恰好落在⊙o上．
（1）當p、c都在ab上方時（如圖1），判斷po與bc的位置關係（只回答結果）；
（2）當p在ab上方而c在ab下方時（如圖2），（1）中結論還成立嗎？證明你的結論；
（3）當p、c都在ab上方時（如圖3），過c點作cd⊥直線ap於d，且cd是⊙o的切線，證明：ab=4pd．
4．（2012肇慶）如圖，在△abc中，ab=ac，以ab為直徑的⊙o交ac於點e，交bc於點d，連線be、ad交於點p．求證：
（1）d是bc的中點；
（2）△bec∽△adc；
（3）abce=2dpad．
5．（2012宜賓）如圖，⊙o1、⊙o2相交於p、q兩點，其中⊙o1的半徑r1=2，⊙o2的半徑r2=．過點q作cd⊥pq，分別交⊙o1和⊙o2於點c、d，連線cp、dp，過點q任作一直線ab交⊙o1和⊙o2於點a、b，連線ap、bp、ac、db，且ac與db的延長線交於點e．
（1）求證：；
（2）若pq=2，試求∠e度數．
6．（2012揚州）如圖1，在平面直角座標系中，矩形oabc的頂點o在座標原點，頂點a、c分別在x軸、y軸的正半軸上，且oa=2，oc=1，矩形對角線ac、ob相交於e，過點e的直線與邊oa、bc分別相交於點g、h．
（1）①直接寫出點e的座標
②求證：ag=ch．
（2）如圖2，以o為圓心，oc為半徑的圓弧交oa與d，若直線gh與弧cd所在的圓相切於矩形內一點f，求直線gh的函式關係式．
（3）在（2）的結論下，梯形abhg的內部有一點p，當⊙p與hg、ga、ab都相切時，求⊙p的半徑．
7．（2012煙台）如圖，ab為⊙o的直徑，弦cd⊥ab，垂足為點e，cf⊥af，且cf=ce．
（1）求證：cf是⊙o的切線；
（2）若sin∠bac=，求的值．
8．（2012孝感）如圖，ab是⊙o的直徑，am，bn分別切⊙o於點a，b，cd交am，bn於點d，c，do平分∠adc．
（1）求證：cd是⊙o的切線；
（2）若ad=4，bc=9，求⊙o的半徑r．
9．（2012襄陽）如圖，pb為⊙o的切線，b為切點，直線po交⊙於點e、f，過點b作po的垂線ba，垂足為點d，交⊙o於點a，延長ao與⊙o交於點c，連線bc，af．
（1）求證：直線pa為⊙o的切線；
（2）試**線段ef、od、op之間的等量關係，並加以證明；
（3）若bc=6，tan∠f=，求cos∠acb的值和線段pe的長．
10．（2012武漢）在銳角三角形abc中，bc=4，sina=，
（1）如圖1，求三角形abc外接圓的直徑；
（2）如圖2，點i為三角形abc的內心，ba=bc，求ai的長．
11．（2012無錫）如圖，菱形abcd的邊長為2cm，∠dab=60°．點p從a點出發，以cm/s的速度，沿ac向c作勻速運動；與此同時，點q也從a點出發，以1cm/s的速度，沿射線ab作勻速運動．當p運動到c點時，p、q都停止運動．設點p運動的時間為ts．
（1）當p異於a、c時，請說明pq∥bc；
（2）以p為圓心、pq長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙p與邊bc分別有1個公共點和2個公共點？
12．（2012溫州）如圖，△abc中，∠acb=90°，d是邊ab上一點，且∠a=2∠dcb．e是bc邊上的一點，以ec為直徑的⊙o經過點d．
（1）求證：ab是⊙o的切線；
（2）若cd的弦心距為1，be=eo，求bd的長．
13．（2012泰州）如圖，已知直線l與⊙o相離，oa⊥l於點a，oa=5．oa與⊙o相交於點p，ab與⊙o相切於點b，bp的延長線交直線l於點c．
（1）試判斷線段ab與ac的數量關係，並說明理由；
（2）若pc=2，求⊙o的半徑和線段pb的長；
（3）若在⊙o上存在點q，使△qac是以ac為底邊的等腰三角形，求⊙o的半徑r的取值範圍．
14．（2012宿遷）如圖，在四邊形abcd中，∠dab=∠abc=90°，cd與以ab為直徑的半圓相切於點e，ef⊥ab於點f，ef交bd於點g，設ad=a，bc=b．
（1）求cd的長度（用a，b表示）；
（2）求eg的長度（用a，b表示）；
（3）試判斷eg與fg是否相等，並說明理由．
15．（2012蘇州）如圖，已知半徑為2的⊙o與直線l相切於點a，點p是直徑ab左側半圓上的動點，過點p作直線l的垂線，垂足為c，pc與⊙o交於點d，連線pa、pb，設pc的長為x（2＜x＜4）．
（1）當x=時，求弦pa、pb的長度；
（2）當x為何值時，pdcd的值最大？最大值是多少？
16．（2012上海）如圖，在半徑為2的扇形aob中，∠aob=90°，點c是弧ab上的乙個動點（不與點a、b重合）od⊥bc，oe⊥ac，垂足分別為d、e．
（1）當bc=1時，求線段od的長；
（2）在△doe中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出並求其長度，如果不存在，請說明理由；
（3）設bd=x，△doe的面積為y，求y關於x的函式關係式，並寫出它的定義域．
17．（2012日照）在rt△abc中，∠c=90°，ac=3，bc=4，ab=5．
（ⅰ）**新知
如圖①，⊙o是△abc的內切圓，與三邊分別相切於點e、f、g．
（1）求證：內切圓的半徑r1=1；
（2）求tan∠oag的值；
（ⅱ）結論應用
（1）如圖②，若半徑為r2的兩個等圓⊙o1、⊙o2外切，且⊙o1與ac、ab相切，⊙o2與bc、ab相切，求r2的值；
（2）如圖③，若半徑為rn的n個等圓⊙o1、⊙o2、…、⊙on依次外切，且⊙o1與ac、ab相切，⊙on與bc、ab相切，⊙o1、⊙o2、…、⊙on均與ab相切，求rn的值．
18．（2012泉州）已知：a、b、c三點不在同一直線上．
（1）若點a、b、c均在半徑為r的⊙o上，
i）如圖①，當∠a=45°，r=1時，求∠boc的度數和bc的長；
ii）如圖②，當∠a為銳角時，求證：sina=；
（2）若定長線段bc的兩個端點分別在∠man的兩邊am、an（b、c均與a不重合）滑動，如圖③，當∠man=60°，bc=2時，分別作bp⊥am，cp⊥an，交點為p，試探索在整個滑動過程中，p、a兩點間的距離是否保持不變？請說明理由．
19．（2012莆田）如圖，點c在以ab為直徑的半圓o上，延長bc到點d，使得cd=bc，過點d作de⊥ab於點e，交ac於點f，點g為df的中點，連線cg、of、fb．
（1）求證：cg是⊙o的切線；
（2）若△afb的面積是△dcg的面積的2倍，求證：of∥bc．
20．（2012寧波）如圖，在△abc中，be是它的角平分線，∠c=90°，d在ab邊上，以db為直徑的半圓o經過點e，交bc於點f．
（1）求證：ac是⊙o的切線；
（2）已知sina=，⊙o的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．
21．（2012南京）某玩具由乙個圓形區域和乙個扇形區域組成，如圖，在⊙o1和扇形o2cd中，⊙o1與o2c、o2d分別切於點a、b，已知∠co2d=60°，e、f是直線o1o2與⊙o1、扇形o2cd的兩個交點，且ef=24cm，設⊙o1的半徑為xcm．
（1）用含x的代數式表示扇形o2cd的半徑；
（2）若⊙o1和扇形o2cd兩個區域的製作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2，當⊙o1的半徑為多少時，該玩具的製作成本最小？
22．（2012南昌）已知，紙片⊙o的半徑為2，如圖1，沿弦ab摺疊操作．
（1）①摺疊後的所在圓的圓心為o′時，求o′a的長度；
②如圖2，當摺疊後的經過圓心為o時，求的長度；
③如圖3，當弦ab=2時，求圓心o到弦ab的距離；
（2）在圖1中，再將紙片⊙o沿弦cd摺疊操作．
①如圖4，當ab∥cd，摺疊後的與所在圓外切於點p時，設點o到弦ab、cd的距離之和為d，求d的值；
②如圖5，當ab與cd不平行，摺疊後的與所在圓外切於點p時，設點m為ab的中點，點n為cd的中點，試**四邊形ompn的形狀，並證明你的結論．
23．（2012柳州）如圖，ab是⊙o的直徑，ac是弦．
（1）請你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出，確定後必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；
第一步，過點a作∠bac的角平分線，交⊙o於點d；
第二步，過點d作ac的垂線，交ac的延長線於點e．
第三步，連線bd．
（2）求證：ad2=aeab；
（3）連線eo，交ad於點f，若5ac=3ab，求的值．
24．（2012懷化）如圖，已知ab是⊙o的弦，ob=4，∠obc=30°，點c是弦ab上任意一點（不與點a、b重合），連線co並延長co交⊙o於點d，連線ad、db．
（1）當∠adc=18°時，求∠dob的度數；
（2）若ac=2，求證：△acd∽△ocb．
25．（2012河北）如圖，a（﹣5，0），b（﹣3，0），點c在y軸的正半軸上，∠cbo=45°，cd∥ab．∠cda=90°．點p從點q（4，0）出發，沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動，運動時時間t秒．
（1）求點c的座標；
（2）當∠bcp=15°時，求t的值；
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