《復數的幾何表示》教學課例
【教學設計】
一、教材分析
本節課選自高二《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2》的《復數的幾何表示》，是在學生學習了複數的概念和四則運算的基礎上，進一步讓學生感受形與數之間的和諧與統一。本節課主要向學生呈現本教材的最大特色之一是以向量為主線，把代數，幾何聯絡起來，把向量引進複數體系，通過引進複數的向量表示，再由向量的加減法的幾何意義順理成章的獲得複數加減法的幾何意義其中蘊含著豐富的數學思想。本節課的教學指導思想是努力挖掘教材的內涵美妙之處，充分發揮其功能，複數的概念來自數學內部對運算與解方程的需要，它的幾何表示則來自數形結合思想與座標方法，這使得複數必然奠基於代數中運算、方程、直角座標系、集合等知識之上，而且必然與平面幾何、平面解析幾何之間有著密切的聯絡．這不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把複數、複數的座標表示及其加（減）運算，與向量、向量的座標表示及其加（減）運算完美地統一了起來．使學生領悟到數學知識發生與發展過程中的思想方法和數學的和諧美、簡潔美，培養精益求精的治學態度和勇於探索的精神。
二、教學目標
（一）知識與能力：
1．了解復平面的概念，理解複數z=a+bi兩種幾何表示：點p(a,b)及向量；
2．了解複數加減法運算的幾何意義；
3．了解共軛複數及複數模的定義，並會簡單的運用；
（二）過程與方法：
通過複數運算的幾何表示，複數加法與減法運算的幾何意義的學習認識過程，讓學生感受形與數之間的和諧與統一，體會思考問題的方式和方法，提高實踐動手操作能力。
（三）情感、態度與價值觀：
通過對複數的代數語言與幾何語言相互轉換的情境學習，體會解決複數問題的手段，培養學生用於創新的精神。
三、教學重點與難點
重點：1．復數的幾何表示點p(a,b)及向量
2．複數加（減）法運算的幾何意義
難點：1．復平面概念的建立
2．複數加（減）法運算的幾何意義
四、教學方法
通過模擬啟發學生的思維，**復數的幾何表示，運用轉化的思想解決問題。
五、教學過程
【創設問題情景】
在之前的學習過程中我們對複數的相關概念已經有了一定的了解，知道複數可以分為實數與虛數，而實數可以由一條數軸上的點來表示。
比如我們取一條規定了方向的直線，在直線上取定一點o作為原點，取定乙個單位長，則這條直線便成為一條數軸，而每個實數由數軸上的唯一乙個點p來表示，當記為沿著數軸的正方向，長度等於單位的向量，則數軸上的點p與它所表示的實數的關係為，也就是說：每個實數都可以用平行於數軸的向量來表示
一一對應
實數點p(a,b)
一一對應一一對應
平面向量
師：我們已經學習了複數的概念．什麼是複數？
生：形如a＋bi的數叫複數．（學生有不同意見，小聲議論）
師：誰有補充？
生：形如a＋bi（a，b∈r）的數叫複數．（教師給予肯定）
師：a，b∈r的條件很重要，實際上我們是用實數來定義的複數，雖然我們知道了複數的定義，但是複數對於我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數，任何乙個實數，都可以在數軸上找到乙個點與它對應，那麼複數到底在**呢？
那我們知道複數由實數和虛數構成，那我們是否可以模擬得到復數的幾何表示呢？
（讓學生在複習舊知識的同時引入新的問題，讓學生帶著問題開始新知識的學習。）
【匯入新課】
師：從之前的學習中我們了解到根據複數相等的定義可知，任何乙個複數都可以由乙個有序的實數對來唯一確定。
一一對應
複數有序數對
而有序數對，又像我們所學的什麼呢？
生：像直角座標系上的點。
師：是的，這樣我們有可以把複數與直角座標系中的點一一對應起來，
一一對應
複數平面直角座標系中的點p(a,b)
一一對應一一對應
有序數對
知識點1：復平面的概念，實軸，虛軸。
例1：（1）寫出在復平面內的點所對應的複數。
（2）在復平面中畫出所對應的點p1,p2,p3,p4。
（通過這兩道題，不僅鞏固了複數與復平面上的點之間一一對應的關係，而且還為後面的教學打下了乙個鋪墊）
（二）小試牛刀
1.設複數z=a+bi （a,b∈r） a,b須滿足什麼條件，能使複數z的對應點位於：
(1)x軸上2)y軸上（不含原點）
(3)第二象限4)在直線2x+y-3=0上
變式 ：已知複數z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面內所對應的點位於第三象限，求實數m允許的取值範圍。
（通過這兩題的練習，讓學生會把複數在復平面內所對應的點所在象限問題轉化成不等式的代數問題進行解決，在此灌輸給學生轉化的數學思想。）
【模擬】
由於複數在復平面的點被唯一的確定，那麼由原點出發的向量也就唯一的確定了，在此我們就可以類似得到了：
一一對應
複數點p(a,b)
一一對應一一對應
平面向量
師： 那我們回頭看剛才的例1的第二小題，請畫出這四個複數所對應的向量，並根據向量模的概念求出向量的模。
生：知識點2：複數的模的定義
任意複數z=a+bi在復平面上對應的向量的模稱為複數的模，也稱為z的絕對值，
記作|z|,即點p(a,b)到原點的距離。
【觀察】
師：請同學們再觀察z3，z4，這兩個複數所對應的向量之間有什麼關係？
（學生在老師的提醒下很快可以發現他們關於x軸對稱，兩個複數實部相等，虛部互為相反數）
知識點3：共軛複數的概念以及一些重要結論
對於任意複數 ，如果保持實部a不變，虛部b變成相反數-b，得到複數稱為原來複數的共軛複數。
所以重要結論：
（1）（2） （3）
【自主**】
1.設z∈c滿足下列條件的點z的集合是什麼圖形？
(1) ∣z∣=4 (2) 2<∣z∣<4
通過圖形讓以及向量的運算法則讓他們認識到複數加減法的集合意義可以由所對應的向量的加減法來表示。
知識點4：複數的加法，減法的幾何意義
1. 兩個複數的加法由對應的向量的加法來表示
2. 兩個複數的減法由對應的向量的減法來表示
3. 複數與任一實數k的乘法由對應向量與k的乘法表示
複數的運算轉化為對應向量的運算
例2、已知opsq為平行四邊形，若p,q分別表示複數1+4i，4+i，m是os,pq的交點，pq平行且等於於od分別求s,d,m表示的複數。
變式1：已知復平面上正方形的三個頂點a，b，c所對應的複數為求第四個點d的複數
變式2：已知復平面上梯形的三個頂點a， b，c所
對應的複數為，且cd平行且等於2ab求第四個點d的複數
課時小結：
一、數學知識：(1)複數的兩種幾何表示
(2)複數的模、共軛複數
(3)複數運算的幾何意義
二、數學思想：(1)模擬的思想
(2)轉化的思想
(3)數形結合的思想
【教學片段實錄】
模擬學習
同學們在之前的學習過程中我們對複數的相關概念已經有了一定的了解，知道複數可以分為實數與虛數，而實數可以由一條數軸上的點來表示。
比如我們取一條規定了方向的直線，在直線上取定一點o作為原點，取定乙個單位長，則這條直線便成為一條數軸，而每個實數由數軸上的唯一乙個點p來表示，當記為沿著數軸的正方向，長度等於單位的向量，則數軸上的點p與它所表示的實數的關係為，也就是說：每個實數都可以用平行於數軸的向量來表示
一一對應
實數點p(a,b)
一一對應一一對應
平面向量
師：我們已經學習了複數的概念．什麼是複數？
生：形如a＋bi的數叫複數．（學生有不同意見，小聲議論）
師：誰有補充？
生：形如a＋bi（a，b∈r）的數叫複數．（教師給予肯定）
師：a，b∈r的條件很重要，實際上我們是用實數來定義的複數，雖然我們知道了複數的定義，但是複數對於我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數，任何乙個實數，都可以在數軸上找到乙個點與它對應，那麼複數到底在**呢？(生好奇)
那我們知道複數由實數和虛數構成，那我們是否可以模擬得到復數的幾何表示呢？（生好奇）
【匯入新課】
師：從之前的學習中我們了解到根據複數相等的定義可知，任何乙個複數都可以由乙個有序的實數對來唯一確定。
一一對應
複數有序數對
而有序數對，又像我們所學的什麼呢？
生：像直角座標系上的點。
師：是的，這樣我們有可以把複數與直角座標系中的點一一對應起來，
一一對應
複數平面直角座標系中的點p(a,b)
一一對應一一對應
有序數對（師演繹課件）
知識點1：復平面的概念，實軸，虛軸。
師：我們把這個用直角座標系來表示複數的這個平面叫做復平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸
例1：（1）寫出在復平面內的點所對應的複數。
（2）在復平面中畫出所對應的點p1,p2,p3,p4。
（通過這兩道題，不僅鞏固了複數與復平面上的點之間一一對應的關係，而且還為後面的教學打下了乙個鋪墊）
(學生動手練習，老師巡視)
師：由於複數在復平面的點被唯一的確定，那麼由原點出發的向量也就唯一的確定了，在此我們就可以類似實數得到了：(師演繹課件)
一一對應
複數點p(a,b)
一一對應一一對應
平面向量
【教學反思】
本節課的教學指導思想是努力挖掘教材的內涵美妙之處，充分發揮其功能，複數的概念來自數學內部對運算與解方程的需要，它的幾何表示則來自數形結合思想與座標方法，這使得複數必然奠基於代數中運算、方程、直角座標系、集合等知識之上，而且必然與平面幾何、平面解析幾何之間有著密切的聯絡．所以學習這部分知識，將是對代數、平面幾何、平面向量、平面解析幾何中有關內容的一次複習、鞏固和應用．複數的加法、減法運算還可以通過向量加法、減法的平行四邊形成三角形法則來進行，這不僅又一次看到了向量這一工具的功能，也把複數、複數的座標表示及其加（減）運算，與向量、向量的座標表示及其加（減）運算完美地統一了起來．使學生領悟到數學知識發生與發展過程中的思想方法和數學的和諧美、簡潔美，培養精益求精的治學態度和勇於探索的精神。
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