（理工類）
一、 填空：（本題15分，每空3分。請將最終結果填在相應的橫線上面。）
1． 。
2．設擺線方程為則此曲線在處的法線方程為。
3． 。
4．設在點(－1,1)處沿方向的方向導數。
5．設σ為曲面介於0≤z≤r的部分，則。
二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有乙個是正確的，把你認為「正確選項」前的字母填在括號內。選對得分；選錯、不選或選出的答案多於乙個，不得分。）
1. 曲線的漸近線有（ b ）
（a） 1條b） 2條；
（c） 3條d） 4條。
2. 若，則當n>2時（ a ）
（ab）；
（cd）。
3. 已知函式f (x)在（－∞，+∞）內有定義，且x0是函式f (x)的極大值點，則（ c ）
（a）x0是f (x)駐點b）在（－∞，+∞）內恒有f (x)≤f (x0)；
（c）－x0是－f (－x)的極小值點d）－x0是－f (x)的極小值點。
4. 設，則z = z (x,y)在點（0，0）（ d ）
（a）連續且偏導數存在b）連續但不可微；
（c）不連續且偏導數不存在d）不連續但偏導數存在。
5. 設，其中ω：x2+y2+z2≤1，z≥0則（ d ）
（ab）；
（cd）。
三、已知極限，試確定常數n和c的值。（本題6分）
解：， 故。
四、已知函式f (x) 連續，，求。（本題6分）
解：命u = t － x，則當 t = 0 時，u = －x；t = x 時，u = 0，於是
五、設方程，
⑴ 當常數a ，b滿足何種關係時，方程有唯一實根？
⑵ 當常數a ，b滿足何種關係時，方程無實根。（本題7分）
解：設，－∞命得唯一駐點，又，故當時，y有最小值。且最小值為
又當x →－∞時，y →＋∞；x →＋∞時，y →＋∞，因此，
⑴ 當且僅當時，方程有唯一實根。
⑵ 當時，方程無實根。
六、在曲線y = x2（x ≥ 0）上某點a作一切線，使之與曲線及x軸所圍圖形的面積為，試求：
⑴ a點的座標；
⑵ 過切點a的切線方程；
⑶ 該圖形繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積。（本題8分）
解：⑴設a點座標為 (x0，y0)，則y0 = x02，於是可知切線方程
y ― x02 = 2x0（x ― x0）即。
由題設，有
故有。⑵ 切線方程為。
⑶ 在上述切線方程中令y = 0，得到，故所求旋轉體的體積
七、計算。（本題7分）
解：解法1
命，則有
，於是有
。同理，所以有
。解法2命，則八、設，其中具有連續的一階偏導數，且。（本題7分）
解：將y = sinx代入，得到，顯然方程確定了 z 是x 的隱含數 z = z (x) ，所以
又由得到九、求上的最大值與最小值。（本題7分）
解：解法1
在s上有，代入，得到
因此命，得到，
由於，，又，所以；。
解法2構造，
解方程組
聯合求解(3)、(4)，得到6個可能的極值點
，因為，所以
，。十、計算，其中區域d為：。（本題7分）
解：如圖，用直線將區域d分為d1和d2兩個區域，則
十一、證明：當 0 < x < 1時，。（本題7分）
證明：本題即證當 0 < x < 1時，，命：，於是有
，，即在區間(0,1)內單調減少，而，故當 x > 0時，因而在區間(0,1)內單調減少，即，於是有，即。
十二、設c是取正向的圓周，f (x)是正的連續函式，證明：
（本題8分）
證明：由格林公式有
，其中d是由 ( x – 1 )2 + ( y – 1 )2 = 1所圍成的區域。而，，
即所以。
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