摘要如今全民大愛籃球運動，投球的命中率是一場比賽輸贏的關鍵所在，能否投入籃筐與投球時運動員所處的位置、投球時的角度和投球時的出手速度有很大關係，該**主要以罰球為出發點，排除了運動員因運動而造成的各種不利因素，討論其罰球時球心與籃筐中心距離，球心所處高度以及投球速度之間的變化對球入籃的影響。把其簡化成物理學上的上拋運動，對其水平上用勻速運動討論起運動規律，在垂直方向以初速度為投球時的速度v，加速度為g做均減速運動討論其運動規律。綜合求解出其運動軌跡，利用導數意義，求出所需高度，速度等變數的最值，得出以下結論和規律，在標準的籃球場上，當運動員出手速度和出手角度均隨著出手高度增加而減小，但當出手高度一定時，出手速度越大則球入筐時的入射角度也越大，速度一定時，出手高度越大，出手角度應越大，但是隨著速度的增加，高度對出手角度的影響變小，說明取決出手角度的變化對出手速度更為敏感。
在出手高度為1.8~2.1m之間時，出手速度一般要大於8m/s。
入射角度一般需要大於。分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允許偏差越小，而出手速度的允許偏差越大，且對出手角度的要求比對出手速度的要求嚴格;出手速度一定時，出手高度越大，出手角度的允許偏差越小，出手速度的允許偏差越大。
關鍵詞：投籃，出手高度，出手速度，入射角度
問題提出
在激烈的籃球比賽中，提高投籃命中率對於獲勝無疑起著決定作用，而出手角度和出手速度是決定投籃能否命中的兩個關鍵因素。這裡討論比賽中最簡單、但對於勝負也常常是很重要的一種投籃方式——罰球。
我們建立數學模型研究以下數學問題：
1) 先不考慮籃球和籃框的大小，把它們的中心看成質點，只是簡單的討論球心命中框心的條件。對不同的出手高度h和出手速度v，確定所對應的不同的出手角度時所對應的不同籃框的入射角度；
2) 考慮籃球和籃框的大小，討論球心命中框心且球入框的條件。檢查上面得到的出手角度和籃框的入射角度是否符合這個條件；
3) 為了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏後(這裡暫不考慮偏左或偏右)， 只要球能入框就成，討論保證球入框的條件下，出手角度允許的最大偏差，和出手速度允許的最大偏差；
4) 考慮在空氣阻力的影響條件下，討論球心命中框心的條件；
1問題的分析與模型的建立
1.1模型假設
、假設球出手後不考慮自身的旋轉；
、不考慮籃球碰籃板；
、不考慮空氣阻力對籃球的影響時；
符號假定
d 籃球直徑
d 籃框直徑
l 罰球點和籃框中心的水平距離
h 籃框中心的高度
h 籃球運動員的出手高度
v 籃球運動員投籃出手速度
按照標準尺寸，l=4.6m，h=3.05m，d=24.6cm，d=45cm
1.2、問題的分析與模型的建立
問題1)的分析與模型的建立
不考慮籃球和籃框的大小的簡單情況，相當於將球視為質點（球心）的斜拋運動。將座標原點定在球心p，列出x(水平)方向和y（豎直）方向的運動方程，就可以得到球心的運動軌跡，於是球心命中框心的條件可以表示為出手角度與出手速度、出手高度之間的關係，以及籃框的入射角度與出手角度，由此可對不同的出手速度、出手高度，計算出手角度和入射角度。
圖1.1投籃模型
由於不考慮籃球和籃筐的大小，不考慮空氣阻力的影響，從未出手時的球心p為座標原點，x軸為水平方向，y軸為豎直方向，籃球在t=0時以出手速度v和出手角度投出，可視為質點(球心)的斜拋運動，其運動方程是我們熟知的
(1.1)
其中g是重力加速度，由此可得到球心運動軌跡為如下拋物線：
(1.2)
以x=l，y=h-h代入上式，就得到球心命中框心的條件
(1.3)
可以看出，給定出手速度v和出手高度h，有兩個出手角度滿足這個條件。
而上式有解的前提為
(1.4)
可對v求解得
(1.5)
於是對於一定的高度h，使上式等號成立的為最小出手速度v它是h的減函式。
由(1.3)式計算出兩個出手速度角度記作、且設，可以看出是h和v的減函式
球入籃筐時的入射角度可從下式得到
(1.6)
這裡的導數由(1.2)式計算代入後可得
1.7)
於是對應於、，有、，設
問題2)的分析與模型的建立：
考慮籃球和籃框的大小時，籃球的直徑d，籃框的直徑d。顯然，即使球心命中球框，若入射角太小，球會碰到框的近側a，不能入框。如圖所示：
圖1.2球入籃時的模型
由圖不難得出滿足的球心應命中框心且球入框的條件。
(1.8)
將d=24.6cm，d=45.0cm代入得》，前面計算結果中不滿足這個條件的，當然應該去掉。
問題3)的分析與模型的建立：
球入框時，球心可以偏離框心，偏前的最大距離為，可以從入射角算出.根據和球心軌跡中x與的關係，能夠得到出手角度允許的最大偏差，出手速度v允許的最大偏差可以類似的處理。
球入筐時球心可以偏前(偏後與偏前一樣)的最大距離為
(1.9)
為了得到出手角度允許的最大偏差，可以在(1.3)式中以l+代替l重新計算，但是由於中包含，從而也包含，所以這種方法不能解析的求出。
如果從(1.2)式出發並將y=h-h代入，可得
(1.10)
對求導並令x=l，就有
1.11)
用近似代替左邊的導數，即可得到出手角度的偏差與的如下關係
(1.12)
由和已經得到的也容易計算相對偏差
類似的，(1.10)式對v求導並令x=l，可得到出手速度允許的最大偏差
(1.13)
由(1.12)、(1.13)式的相對偏差為
(1.14)
2模型的求解及結果分析
2.1對不同出手高度的最小出手速度和對應的出手角度
使(1.5)式等號成立的v為最小出手速度，在這個速度下由(1.3)式可得相應的出手角度為
(2.1)
取出手高度h=1.8~2.1(m)，利用公式求出，再根據，求出，用matlab求解，**如下：
function v=fun(h);
h=3.05;
g=9.8;
l=4.6;
v=sqrt(g*[h-h+sqrt(l^2+(h-h)^2)]);
fun(1.8)
ans =
7.6789
fun(1.9)
ans =
7.5985
fun(2.0)
ans =
7.5186
fun(2.1)
ans =
7.4392
結果如下圖所示。
表2.1對不同出手高度的最小出手速度和對應的出手角度
由此得出，對應與最小出手速度是最小出手角度，他們均隨著出手高度的增加而略有減小;出手速度一般不要小於8公尺/秒.
2.2對不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
對出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度1.8~2.1(m)，由公式
，用matlab求解、
function f=fun1(v);
l=4.6;
h=3.05;
g=9.8;
h=1.8;
t=v^2/(g*l)*(1+sqrt(1-2*g/v^2*(h-h+g*l^2/(2*v^2))));
f=atan(t)/pi*180;
fun1(8.0)
ans =
62.4099
用此求出所有的，同理可求出
function f=fun1(v);
l=4.6;
h=3.05;
g=9.8;
h=1.8;
t=v^2/(g*l)*(1-sqrt(1-2*g/v^2*(h-h+g*l^2/(2*v^2))));
f=atan(t)/pi*180;
fun1(8.0)
ans =
42.7925
求出所有的，利用所求出的，再根據公式，計算出不同的出手角度、所對應的不同的入射角度、，結果見下表2
表2.2對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
根據前面計算，應大於才能保證球入框，這裡的均小於，不滿足條件，所以在考慮籃球和籃框大小的實際情況下，出手角度只能是所對應的。可以發現，速度一定時，出手高度越大，出手角度應越大，但是隨著速度的增加，高度對出手角度的影響變小，這種影響在左右；出手高度一定時，速度越大，出手角度也應越大，出手速度的影響在之間。
2.3 分析出手角度和出手速度的最大偏差
利用和上面所求的的，計算出手角度最大偏差和，再利用(13)、(14)式計算出手速度的最大偏差和，下面只將h=1.8(m)，h=2.0(m)的結果列入下表中。
表2.3 出手角度和出手速度之間的偏差關係
總的看來，允許偏差都相當小。進一步分析可知，速度越大，角度的允許偏差越小，而速度的允許偏差越大，且對角度的要求比對速度的要求嚴格；出手速度一定時，高度越大，出手角度的允許偏差越小，出手速度的允許偏差越大，但這時對出手角度和出手速度的要求都相對較低。
3模型的改進
3.1當考慮空氣阻力的影響時，出手角度有什麼變化。
考慮水平方向的阻力時，應該用微分方程求解球心的運動軌跡，由於阻力很小，可作適當簡化。然後與前面類似的作各種計算。
假設只考慮水平方向的阻力，且阻力與速度成正比，設比例係數為 k。這時水平方向的運動由微分方程
(3.1)
其解為：
(3.2)
因為阻力不大，時間t也很小(約1秒)，所以將(3.2)式中的公式做泰勒展開後忽略二階以上的項得到(不考慮豎直方向的阻力，故 y(t)仍與(1.1)式相同)，得到
(3.3)
在不考慮籃球和籃筐大小時，球心命中框心的條件由方程組
(3.4)
同理於模型1)，2) 的求解，即可求出對不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度。
總結 籃球比賽投籃命中率是關鍵，本**用數學理論知識做物理運動分析，結合微分方法對其求出了投籃時最佳高度和最佳投籃速度，以及在一定高度下，投籃所需的出手角度和入射角度，當然也運用極值原理求出角度和速度的最大偏差，其中，用matlab工具去求解出了較為複雜的公式，通過這次建模，使我更加了解了數學的理論知識如何應用到實踐中去，運用到生活中去，也更加熟悉了matlab在數學上的廣泛用途。
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