數學模型課程設計
安徽工業大學數理學院
2023年 6月 20日
人力計畫問題
1.摘要
本文首先根據已給資料和要求，列出了從第0年（現在）到第3年年初和年末各類員工的人數（見表4），再由每年年初的員工人數與表1中資料的相對應關係，及表1表2中的約束，將問題轉化成乙個多步驟的整數規劃問題。其中問題(1）的目標函式為：第0年到第2年年末每一年企業解雇人數最少；而問題（2）的目標函式為：
第0年到第2年年末每一年企業費用最少。針對第乙個問題我們列出了三個整數線性規劃模型，且三個模型中,後乙個模型中的一些資料需由前乙個模型的解得到。這樣我們就確定了三年招工、再培訓、解雇、超員雇用的方案。
用同樣方法我們也得到了當費用最少時，三年的招工、再培訓、解雇、超員雇用的方案。接著比較兩個問題的解，計算出每年每類崗位所節省的費用。結果見表5、表6、表7 。
然後我們對模型的科學性和現實性進行了闡述和評價。
2.問題重述
某公司正經歷一系列的變化，這要影響到它在未來幾年的人力需求。由於裝備了新機器，對不熟練工人的需求相對減少，對熟練和不熟練工人的需求相對增加；同時，預期下一年度的**量將下降，從而減少對各類崗位人力的需求。據估計，當前及以後三年需要的人員數如表1：
表1人數需求（單位：人）
為了滿足以上人力需要，該公司考慮為未來三年確定1、招工；2、再培訓；3、解雇和超員僱傭。；4、設半日工的計畫方案。
因工人自動離職和其它原因，存在自然減員問題，在招工中，受僱後不滿一年就自動離職的人數特別多；工作一年以上再離職的人數就很少了。考慮到這一點，設自然減員率如表2：
表2 離職的人數比例
當前沒有招工，並且現有的工人都已工作一年以上。
1． 招工假定每年可以招工的人數有一定的限制，如表3所示：
表3 每年招工人數上限（單位：人）
2． 再培訓每年可以將200個不熟練工人培訓成半熟練工人，每人每年的培訓費是400元。每年將半熟練工人培訓成熟練工人的人數不得超過年當時熟練工人的四分之一，培訓半熟練工人成為熟練工人的費用是500元。
把工人降等級使用（即讓熟練工去做半熟練工或不熟練工的工作等），雖然這樣公司不需要支付額外的費用，但被降等使用的工人中有50%會放棄工作而離職（以上所說的自然離職不包括這種情況）。
3． 解雇解雇一名的不熟練工人要付給他200元，而解雇乙個半熟練或熟練
工人要付給他500元。
4． 超員僱傭該公司總共可以額外雇用150人，對於每個額外雇用的人員，公司要付給他額外的費用如表4：
表4額外招工的費用（單位：元/年）
表5 半日工的費用（單位：元/年）
5． 半日工不熟練、半熟練或熟練工人可以各有不超過50名作為半日工，完成半個人的生產任務。每個工人的費用如表：
問題1：如果公司的目標是儘量減少解雇人員。為此，應如何運轉？
問題2：如果公司的目標是儘量減少費用，能節省多少費用？匯出每年每類崗位所節省的費用
3.模型假設
為了簡化問題，除了題目中已經存在的條件和假設，我們還作了下列合理假設：
假設1：企業每年年初招工，並在年末根據整一年的績效考核與素質評估，確定再培訓的員工和降級的員工，且根據市場需求解雇一些員工。
假設2：將不熟練工、半熟練工、熟練工對應分成
一、二、三，三個熟練等級，工人每年評估中，降級員工只降低一級。
假設3：在下一年初對上一年末確定的員工進行培訓，新招員工不予以培訓。
假設4：企業在招工、培訓、解雇上的時間都很短，與整年的工作時間相比可以忽略不計，不影響員工的正常工作。
假設5：為保證企業員工的持續供給，每年年初的各級員工的數目多於表1人力需求的估計數。
假設6：每年年初招聘的員工中，區分普通雇用和超員雇用，超員雇用的工人一年後，轉變為普通工人。第二年若有需要重新招收超員雇用工人。
符號說明表：
4.模型建立
（一） 對問題的討論
人力資源規劃（human resources planning）是企業生產管理中的乙個重要內容。它包括員工招聘、員工培訓與開發、員工績效評估和薪酬管理、員工解聘等。題目要求確定未來三年的招工、再培訓、解雇和超員雇用的方案，以期達到預期的目標。
考慮這些方面對企業生產效益，人力資源配置的影響。
（二）多步驟整數規劃模型的建立
根據表1表2 表3及問題中的一些文字說明，和模型的假設，可以確定第0年（現在）到第3年，年初和年末各類員工的人數，如下表：
表4注：1）表中所有變數都是非負整數。
2）由於題目只對企業三年內的人力資源規劃，所以表中並沒有給出第三年年末的各類工人數。
3）上年年末確定解雇的員工，假定到下年初離開。
根據表4所得結果，建立以下最優化模型：（下述模型中各變數均為非負整數約束）
問題（1）：確定解雇人數最少目標模型：
第1年： (1.1)
第2年： (1.2)
第3年： (1.3)
問題（2）：確定費用最少目標模型：
第1年： (2.1)
第2年： (2.2)
第3年： (2.3)
5.模型求解與結果
4.1模型求解
利用數學軟體lingo9.0求解上述線性規劃問題（程式見附錄），得到解如下：
第1年表5
不熟練工節省費用為：27500 元；
半熟練工節省費用為：125000 元；
熟練工節省費用為： 0 元；
第2年：
表6不熟練工節省費用為：20000 元；
半熟練工節省費用為：100000 元；
熟練工節省費用為： 0 元；
第3年：
表7不熟練工節省費用為：20000 元；
半熟練工節省費用為：280500 元；
熟練工節省費用為： 0 元；
4.2結果分析
從上述結果可以看出：
1。由於沒有考慮招員的費用，增加的員工時，大部分來自招員，而非其他渠道（如培訓和超員雇用）；
2。根據市場的要求和企業三年的需求變化，且相比其他類員工而言，解雇不熟練工費用最低，所以企業中解雇的員工都集中在不熟練工上，；
3。由於半熟練工三年持續增加，第三年還要超員雇用，而不熟練工在減少，所以兩個不同目標比較時，節省的費用都集中在半熟練工上。
4。由於熟練工三年也是持續增加，供不應求，且熟練工降級等都不會產生費用，而是將費用轉嫁到了半熟練工的人員培訓上。
6.模型評價和改進
5.1模型優點：
1。模型簡單有效，易於推廣，雖然模型是幾個簡單的整數規劃的拼湊，但正由於這樣，模型可以作為其他研究的基礎加以推廣。
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