【實驗目的】
1．了解微分方程的一些基本概念。
2．初步掌握微分方程模型建立、求解的基本方法和步驟。
3．學習掌握用matlab軟體中相關命令求解常微分方程的解析解。
【實驗內容】
在城市道路的十字路口，都會設定紅綠交通燈。為了讓那些正行駛在交叉路口或離交叉路口太近而又無法停下的車輛通過路口，紅綠燈轉換中間還要亮起一段時間的黃燈。對於一名駛近交叉路口的駕駛員來說，萬萬不可處於這樣進退兩難的境地：
要安全停車但又離路口太近；要想在紅燈亮之前通過路口又覺得距離太遠。那麼，黃燈應亮多長時間才最為合理呢？
已知城市道路法定速度為，交叉路口的寬度為，典型的車身長度統一定為，一般情況下駕駛員的反應時間為，地面的磨擦係數為。（假設＝9，＝4.5，＝0.2，＝1）
【實驗準備】
微分方程是研究函式變化過程中規律的有力工具，在科技、工程、經濟管理、人口、交通、生態、環境等各個領域有著廣泛的應用。如在研究牛頓力學、熱量在介質中的傳播、拋體運動、化學中液體濃度變化、人口增長**、種群變化、交通流量控制等等過程中，作為研究物件的函式，常常要和函式自身的導數一起，用乙個符合其內在規律的方程，即微分方程來加以描述。
1．微分方程的基本概念
未知的函式以及它的某些階的導數連同自變數都由一已知方程聯絡在一起的方程稱為微分方程。如果未知函式是一元函式，稱為常微分方程。如果未知函式是多個變數的函式，稱為偏微分方程。
聯絡一些未知函式的多個微分方程稱為微分方程組。微分方程中出現的未知函式的導數的最高端數稱為微分方程的階。若方程中未知函式及其各階導數都是一次的，稱為線性常微分方程，一般表示為
1）若（1）式中係數（＝1，2，…，）均與無關，稱之為常係數（或定常、自治、時不變）的。
建立微分方程模型要根據研究的問題作具體的分析。一般有以下三種方法：
根據規律建模：在數學、力學、物理、化學等學科中已有許多經過實踐檢驗的規律和定律，如牛頓運動定律、基爾霍夫電流及電壓定律、物質的放射性規律、曲線的切線的性質等，這些都涉及某些函式的變化率。我們可以根據相應的規律，列出常微分方程。
微元法建模：利用微積分的分析法建立常微分方程模型，實際上是尋求一些微元之間的關係式，在建立這些關係式時也要用到已知的規律或定理。與第一種方法不同之處在於這裡不是直接對未知函式及其導數應用規律和定理來求關係式，而是對某些微元來應用規律。
模擬近似法建模：在社會科學、生物學、醫學、經濟學等學科的實踐中，常常要用模擬近似法來建立微分方程模型。這是因為，上述學科中的一些現象的規律性我們還不是很清楚，即使有所了解也並不全面，因此，要用數學模型進行研究只能在不同的假設下去模擬實際的現象。
如此模擬近似所建立的微分方程從數學上求解或分析解的性質，再去同實際情況作對比，觀察這個模型能否模擬、近似某些實際的現象。
建立微分方程模型只是解決問題的第一步，通常需要求出方程的解來說明實際現象，並加以檢驗。
2．微分方程通解的求解方法
（1）初等積分法
有些微分方程可直接通過積分來進行求解。例如，一階常係數線性常微分方程
0）可化為
兩邊通過積分可得到通解為
其中為任意的常數。有些常微分方程可用一些技巧（如分離變數法、積分因子法、常數變易法、降階法等）化為可積分的方程而求得解析解。
（2）常係數線性微分方程求解
線性常微分方程的解滿足疊加性原理，從而它的求解可歸結為求乙個特解和相應齊次微分方程的解。一階變係數線性常微分方程總可用這一思路來求得通解。高階線性常係數微分方程可用特徵根法求得相應齊次微分方程的基本解，再用常數變易法求特解。
例如，求＋＋＝0的通解。
解：特徵方程為
＋0.2＋3.92＝0
在matlab命令框中輸入命令
>> x=roots([1 0.2 3.92])% roots命令用來求多項式的根
求解得到一對共軛復根
x =-0.1000 + 1.9774i
-0.1000 - 1.9774i
從而該微分方程的通解為
其中、為任意的常數。
一階常微分方程組與高階常微分方程可以互化，已給乙個階方程
2）設＝，＝，…，＝，（2）可化為一階方程組
＝＝3） ＝
反過來，在許多情況下，一階微分方程組也可以化為高階方程。所以一階常微分方程組與高階常微分方程的理論與方法在很多方面是相通的。一階常係數線性微分方程組也可用特徵根法進行求解。
3．求微分方程（組）通解的matlab命令
求解微分方程（組）的解析解用函式dsolve。
【實驗方法與步驟】
1．dsolve命令的基本用法
下面以例題來予以說明：
例1 求高階方程＝－，＝1，＝0的通解
輸入命令：
>> r=dsolve('d2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','dy(0)=0','x')
r = (1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*cos(x)+4/3*cos(x)
>> r=******(r)% 對r進行合併、分解化簡
r =-1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x)
例2 求天微分方程組的通解
>> [x,y,z]=dsolve('dx=2*x-3*y+3*z','dy=4*x-5*y+3*z','dz=4*x-4*y+2*z');
>> x=******(x)
x =-(-c1-c2*exp(-3*t)+c2-c3+c3*exp(-3*t))*exp(2*t)
>> y=******(y)
y =-(c1*exp(-4*t)-c1-c2*exp(-4*t)-c2*exp(-3*t)+c2-c3+c3*exp(-3*t))*exp(2*t)
>> z=******(z)
z =(-c1+exp(4*t)*c1-c2*exp(4*t)+c2+exp(4*t)*c3)*exp(-2*t)
2．引例問題的分析與求解
首先，我們用模擬近似法對引例問題進行分析建模。
對於駛近交叉路口的駕駛員，在他看到黃色訊號後要做出決定：是停車還是通過路口。如果他以法定速度（或低於法定速度）行駛，當決定停車時，他必須有足夠的停車距離。
當駕駛員決定通過路口時，必須有足夠的時間讓他能完全通過路口。這包括做出停車決定的反應時間以及通過停車所需的最短距離的駕駛時間，能夠很快看到黃燈的駕駛員可以利用剎車距離將車停下來。
於是，黃燈狀態所應持續的時間包括駕駛員的反應時間，他通過交叉路口的時間以及通過剎車距離所需要的時間。
由題設可知城市道路法定速度為，交叉路口的寬度為，典型的車身長度統一定為。考慮到車通過路口實際上指的是車的尾部必須通過路口，因此，通過路口的時間為
現在我們來計算剎車距離：設為汽車的重量，為磨擦係數，由牛頓力學知，地面對汽車的磨擦力為，其方向與汽車運動的方向相反。汽車在停車過程中，由牛頓第一動力定理有
其中為汽車質量（即，為重力加速度），為汽車的加速度，是汽車所受的摩擦力。這裡加速度是停車距離關於時間的二階導數，所以行駛距離與時間的關係可由下面的微分方程確定：
4）約去，化簡（4）式得
05）同時，我們知道，當＝0時，距離＝0，初速度是距離在0時刻的一階導數，於是可以給出方程（5）的初始條件
6）在malab命令框中輸入命令
>> x=dsolve('d2x=-ug','x(0)=0,dx(0)=v0','t')
x =-1/2*ug*t^2+v0*t
即得到停車距離關於時間的解析式。停車時速度為0，即＝0，可得到汽車剎車所用的時間＝，從而得到剎車距離＝。
設黃燈閃爍的時間為，則的表示式為
【結果分析】
由假設知，＝9，＝4.5，＝1s ，磨擦係數選取有代表性的＝0.2，我們考慮當法定速度＝40、60、80km/h時，黃燈時間如表1所示，表1也給出了與經驗法黃燈時間的對比。
表1 黃燈**時間與經驗法時間的對比
我們注意到，經驗法的結果一律比我們**的黃燈狀態時間要短些，這使得我們聯想起，許多城市交叉路口紅、黃、綠燈的設計可能使得司機駕駛著的汽車在綠燈轉變為紅燈的時刻正處於交叉路口的位置。
【練習與思考】
1．設一容積為（單位：）的大湖受到某種化學廢料的汙染，汙染物均勻地分布在湖中。若某時刻起汙染源被切斷，設湖水更新的速率是（單位是：
／天）。試建立求汙染物的濃度下降至原來的5%所需時間的數學模型。美國密西根湖的容積為4871×（），湖水的流量為3.
663959132×（），求汙染中止後，汙染物濃度下降到原來湖水汙染濃度的3%所需要的時間。
2．某公司生產一種耐用消費品，產品一上市，該公司即開始做廣告，一段時期的市場跟蹤調查後，該公司即發現：單位時間內購買人口百分比的相對增長率與當時還沒有購買的百分比成正比，且通過估算得此比例係數為0.5。
校園交通問題的數學建模方案
2012 大學大學生數學建模競賽 承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始後參賽隊員不能以任何方式 包括 電子郵件 網上諮詢等 與隊外的任何人 包括指導教師 研究 討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料...
校園交通管理規定
發表時間 2011 03 02 21 21 38作者 原創 為了進一步加強校園交通管理，創造乙個良好的校園環境，保障師生員工的人身安全，根據交通法規及交通管理部門有關檔案精神，結合學院的具體情況，特制定本規定。一 進入學院的各種機動車在校園內一律禁止鳴笛 超車和並行，進出學院大門行車速度不得超過5公...
綜合交通管理概論
綜合交通管理概論 課程標準 一 課程基本資訊 課程 課程類別 本課程是經營管理類別，為高等職業技術教育交通運輸 物流專業教學用書 教材 學時 學分 72學時，教授課時限一學期學分 適用專業 交通運輸 企業管理 物流等專業。二 課程性質與目標 1 課程性質 本課程是從事交通運輸業的人員必備知識，是交通...