2023年普通高等學校招生全國統一考試·陝西卷(理科)
全解全析
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（本大題共10小題，每小題5分，共50分）．
1．設，是向量，命題「若，則」的逆命題是
（a）若，則b）若，則
（c）若，則d）若，則
【分析】首先確定原命題的條件和結論，然後交換條件和結論的位置即可得到逆命題。
【解】選d 原命題的條件是，作為逆命題的結論；原命題的結論是，作為逆命題的條件，即得逆命題「若，則」，故選d．
2．設拋物線的頂點在原點，準線方程為，則拋物線的方程是
（a） （b） （c） （d）
【分析】由準線確定拋物線的位置和開口方向是判斷的關鍵．
【解】選b 由準線方程得,且拋物線的開口向右（或焦點在軸的正半軸），所以．
3．設函式（r）滿足，，則函式的影象是
【分析】根據題意，確定函式的性質，再判斷哪乙個影象具有這些性質．
【解】選b 由得是偶函式，所以函式的圖象關於軸對稱，可知b，d符合；由得是週期為2的週期函式，選項d的影象的最小正週期是4，不符合，選項b的影象的最小正週期是2，符合，故選b．
4．（r）展開式中的常數項是
（a） （b） （c）15 （d）20
【分析】根據二項展開式的通項公式寫出通項，再進行整理化簡，由的指數為0，確定常數項是第幾項，最後計算出常數項.
【解】選c ，
令，則，所以，故選c．
5．某幾何體的三檢視如圖所示，則它的體積是
（a）（b）
（c）（d）
【思路點撥】根據已知的三檢視想象出空間幾何體，然後由幾何體的組成和有關幾何體體積公式進行計算．
【精講精析】選a 由幾何體的三檢視可知幾何體為乙個組合體，
即乙個正方體中間去掉乙個圓錐體，所以它的體積是
.6．函式在內
（a）沒有零點b）有且僅有乙個零點
（c）有且僅有兩個零點d）有無窮多個零點
【分析】利用數形結合法進行直觀判斷，或根據函式的性質（值域、單調性等）進行判斷。
【解】選b （方法一）數形結合法，令，則，設函式和，它們在的影象如圖所示，顯然兩函式的影象的交點有且只有乙個，所以函式在內有且僅有乙個零點；
（方法二）在上，，，所以；
在，，所以函式是增函式，又因為，，所以在上有且只有乙個零點．
7．設集合，，為虛數單位， r，則為（ ）
（a）（0，1） （b）， （c）， （d），
【分析】確定出集合的元素是關鍵。本題綜合了三角函式、複數的模，不等式等知識點。
【解】選c ，所以；
因為，所以，即，又因為r，所以，即；所以，故選c.
8．右圖中，，，為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，為該題的最終得分，當，，時，等於（ ）
（a）11 （b）10 （c）8 （d）7
【分析】先讀懂右圖的邏輯順序，然後進行計算判斷，其中判斷條件是否成立是解答本題的關鍵．
【解】選c ，,不成立,即為「否」，所以再輸入；由絕對值的意義（乙個點到另乙個點的距離）和不等式知，點到點的距離小於點到的距離，所以當時，成立，即為「是」，此時，所以，即，解得，不合題意；當時，不成立，即為「否」，此時，所以，即，解得，符合題意，故選c．
9．設，…，是變數和的個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸方程（如圖），以下結論中正確的是
（a）和的相關係數為直線的斜率
（b）和的相關係數在0到1之間
（c）當為偶數時，分布在兩側的樣本點的個數一定相同
（d）直線過點
【分析】根據最小二乘法的有關概念：樣本點的中心，相關係數線，性回歸方程的意義等進行判斷．
【解】選d
10．甲乙兩人一起去遊「2011西安世園會」，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行遊覽，每個景點參觀1小時，則最後一小時他們同在乙個景點的概率是 （ ）
（a） （b） （c） （d）
【分析】本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時間）可以簡化解題思路，然後把問題簡化為兩人所選的遊覽景點路線的排列問題．
【解】選d 甲乙兩人各自獨立任選4個景點的情形共有（種）；最後一小時他們同在乙個景點的情形有（種），所以．
二、填空題：把答案填在答題卡相應題號後的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11．設，若，則 ．
【分析】分段函式問題通常需要分布進行計算或判斷，從算起是解答本題的突破口.
【解】因為，所以，又因為，
所以，所以，．
【答案】1
12．設，一元二次方程有整數根的充要條件是 ．
【分析】直接利用求根公式進行計算，然後用完全平方數、整除等進行判斷計算．
【解】，因為是整數，即為整數，所以為整數，且，又因為，取，驗證可知符合題意；反之時，可推出一元二次方程有整數根．
【答案】3或4
13．觀察下列等式
1=12+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……照此規律，第個等式為
【分析】歸納總結時，看等號左邊是子的變化規律，右邊結果的特點，然後歸納出一般結論．行數、項數及其變化規律是解答本題的關鍵．
【解】把已知等式與行數對應起來，則每乙個等式的左邊的式子的第乙個數是行數，加數的個數是；等式右邊都是完全平方數，
行數等號左邊的項數
1=111
2+3+4=923
3+4+5+6+7=25 35
4+5+6+7+8+9+10=49 47
所以，即
【答案】
14．植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10公尺．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為公尺）．
【分析】把實際問題轉化為數學模型,然後列式轉化為函式的最值問題．
【解】（方法一）設樹苗放在第個樹坑旁邊（如圖），
1 219 20
那麼各個樹坑到第i個樹坑距離的和是
，所以當或時，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000公尺.
（方法二）根據圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得乙個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最後移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的路程總和達到另乙個最值，所以計算兩個路程和即可。樹苗放在第乙個樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個（或第11個）樹坑旁邊時，路程總和是
，所以路程總和最小為2000公尺.
【答案】2000
15．（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
a．（不等式選做題）若關於的不等式存在實數解，則實數的取值範圍是
【分析】先確定的取值範圍，再使得能取到此範圍內的值即可．
【解】當時，；
當時，；
當時，；
綜上可得，所以只要，解得或，
即實數的取值範圍是．
【答案】
b．（幾何證明選做題）如圖，∠b=∠d，，，且ab=6，ac=4，ad=12，則be
【分析】尋找兩個三角形相似的條件，再根據相似三角形的對應邊成比例求解．
【解】因為，
所以∠aeb=，又因為∠b=∠d，所以△aeb∽△acd，所以,
所以，在rt△aeb中，．
【答案】
c．（座標系與引數方程選做題）直角座標系中，以原點o為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，設點a，b分別在曲線：（為引數）和曲線：上，則的最小值為
【分析】利用化歸思想和數形結合法，把兩條曲線轉化為直角座標系下的方程．
【解】曲線的方程是，曲線的方程是，兩圓外離，所以的最小值為．
【答案】3
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共75分）
16．（本小題滿分12分）
如圖，在△abc中，∠abc=，∠bac，ad是bc上的高，沿ad把△abd折起，使∠bdc．
（1）證明：平面adb⊥平面bdc；
（2）設e為bc的中點，求與夾角的余弦值．
【分析】（1）確定圖形在折起前後的不變性質，如角的大小不變，線段長度不變，線線關係不變，再由麵麵垂直的判定定理進行推理證明；（2）在（1）的基礎上確定出三線兩兩垂直，建立空間直角座標系，利用向量的座標和向量的數量積運算求解．
【解】（1）∵折起前ad是bc邊上的高，
∴當△abd折起後， ad⊥dc，ad⊥db，
又，∴ad⊥平面bdc，
∵ad平面abd，∴平面abd⊥平面bdc．
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