數學（文） 試題
本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分．捲麵共150分，考試時間120分鐘.
第ⅰ卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．某學校有老師人,男學生人,女學生人.現用分層抽樣的方法從所有師生中抽取乙個容量為的樣本.已知從男學生中抽取的人數為人,則
ab． cd．
2．已知等差數列中，，則該數列前9項和等於
ab． c． d．
3．實數是直線和平行的
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
4．,且是第四象限的角,則
a． bcd．
5．設集合, ,定義集合,則
中所有元素之積為
a． b． cd．
6．函式的圖象大致是
abcd．
7．設兩個非零向量, ,若向量與的夾角為銳角,則實數的取值範圍是
ab．或
c．或或 d．或
8．已知平面外不共線的三點a，b，c到的距離都相等，則正確的結論是
a．平面abc必平行於
b．平面abc必與相交
c．平面abc必不垂直於
d．存在△abc的一條中位線平行於或在內
9．點是橢圓（上的任意一點，是橢圓的兩個焦點，且∠，則該橢圓的離心率的取值範圍是
abc． d．
10．已知平面上點，則滿足條件的點在平面上所組成圖形的面積是
abcd．
二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.
11．已知函式，則
12．已知的三邊長為三個連續的正整數，且最大角為鈍角，則最長邊長為 ．
13．在的展開式中，的係數為 ．
14．有6個座位連成一排，現有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有種．
15．甲、乙、丙3人投籃，投進的概率分別是，，．現3人各投籃1次，則3人中恰有2人投進的概率是 ．
16．已知數列的前項和滿足關係式，則的通項公式是 ．
17．已知半球的半徑為,它的內接長方體的乙個面在半球的底面上,則該長方體的體積最大值為 ．
三、解答題
18．（本小題滿分14分）
已知函式．
（1）若，求的單調遞增區間；
（2）若時，的最大值為4，求的值，並指出這時的值．
19．（本小題滿分14分）
如圖，四稜錐，面⊥面，△是等邊三角形，底面是矩形，，是的中點．
（1）求證：；
（2）求與平面所成的角；
（3）求二面角的度數。
20．(本小題滿分14分)
將一張26公尺的硬鋼板按圖紙的要求進行操作，沿線裁去陰影部分，把剩餘部分按要求焊接成乙個有蓋的長方體水箱（其中①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），設水箱的高為公尺，容積為立方公尺。（1）求關於的函式關係式；（2）如何設計的大小，使得水箱裝的水最多？
21．（本小題滿分14分）
已知數列{}中，（），
數列滿足:（）
（1）求證:數列是等差數列；
（2）求數列中的最大項與最小項，並說明理由.
22．（本小題滿分16分）
已知為座標原點，點的座標分別為,動點滿足：
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點做直線與相交於兩點，且，求直線mn的方程。
參***
一．選擇題：
二．填空題：
11． 121314．
1516. 17.
三．解答題：
18．解：（1）．
解不等式．
得∴f（x）的單調增區間為，．
（2）∵，]，∴．
∴當即時，．
∵3＋a＝4，∴a＝1，此時．
19．解：取ad的中點g，鏈結pg，cg．
（1）∵△adp為正三角形，∴pg⊥ad．
又面pad⊥面abcd．ad為交線，
∴pg⊥面abcd，∴pg⊥cd，又ad⊥cd
∴cd⊥面pad，∴
（2）由（1）∴pg⊥面abcd，則∠pcg為pc與
平面abcd所成的角．
設ad＝a，則，．
在rt△gdc中，
．在rt△vgc中，．
∴．即vc與平面abcd成30°．
（3）鏈結gf，則．
而．在△gfc中，．∴gf⊥fc．
鏈結pf，由pg⊥平面abcd知pf⊥fc，則∠pfg即為二面角p-fc-d的平面角．
在rt△vfg中，．
∴ ∠vpg＝45°．二面角p-fc-b的度數為135°．
20．解：（1）設水箱的高為（公尺），則水箱底面（7）
長寬分別為（公尺），（公尺）
故水箱的容積為
（2）由，得：
所以：在上單調遞增，在上單調遞減
所以時水箱的容積最大。
21．解：（1），
而，∴．
∴{}是首項為，公差為1的等差數列．
（2）依題意有，而，
∴．函式，在（3.5，）上為減函式．在（，3.5）上也為減函式．
故當n＝4時，取最大值3，n＝3時，取最小值-1．
22．解：（1）∵
由橢圓的第一定義可知點p的軌跡為橢圓，
且2a＝4，c＝1，∴
∴所求的橢圓方程為
（2）①當直線mn的斜率不存在時，不滿足題意；
②當直線mn的斜率存在時，設其方程為，
代入化簡得
設兩交點的座標為m（）、n（）
則 ∵，∴ ， ∴
∴∴所求的直線mn的方程為
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