致遠中學高三年級2005－2006學年度第二學期第五次周練
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．請將答案填寫在答卷紙上)
1. 已知(c ）
a． b．（） c． d．（0，2）
2.命題甲：是第二象限角；命題乙：，則命題甲是命題乙成立的 ( b )
a. 必要不充分條件b.充分不必要條件
c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件
3.已知當x、y∈r+時,f(xy)=f(x)+f(y),若x1,x2,…,x2005∈r+,且f(x1·x2·…·x2005)=8,則f(x12)+f(x22)+…+f(x20052)的值為(c )
a.4b.8c.16d.32
4. 以橢圓的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為 ( )
ab.c. d.
5．從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上， 其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ b ）
a．24種 b．18種 c．12種 d．6種
6、函式的反函式是 （a ）
a． b．
c． d．
7.已知函式f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=1和x=－1處都有極值，且f(－1)=－1,f(0)=0，則a,c的值依次是（ b ）
abcd.,
8.已知過球面上三點a、b、c的截面和球心的距離等於球半徑r的一半,且ab=bc=ca=2,則球面積s等於（ d ）
a. b. c.4π d.
9若關於x的方程有實數解，則實數a的取值範圍是（ c）
a b c d
10.奇函式f(x)=kax－a-x (a>0且a≠1)在r上是增函式,那麼g(x)=loga(x+k)的大致圖象是( c )
11.若函式f(x)=asin(ωx+φ)(ω＞0,a＞0,0＜φ＜π＝的部分圖象如下圖所示,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2005)的值為（ c ）
a.0 b.1 c.2 d.－1
12、如圖所示，正四面體abcd中，e在稜ab上，f在稜cd上，使，設表示ef與ac所成的角，表示ef與bd所成的角，則（ d ）
a、上單調遞增
b、上單調遞減
c、上單調遞增，
而在上單調遞減
d、上為常數
二、填空題：（本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在答題卷上）
13．已知是偶函式，定義域為，則
14．已知等差數列的公差，且a1,a3,a9成等比數列，則=
15．已知直線，為使這條直線不經過第二象限，則實數的範圍是
16某人拋擲乙個正常的骰子，出現各數的概率都是，構造數列，使得
,記 sn表示數列的前n項和，則s4＝2的概率是____
17．δabc的兩條邊上的高的交點為h，外接圓的圓心為o，，則實數m1 。
18、已知函式有最大值或最小值，則a的取值範圍是
三、解答題（本大題共5個小題，共66分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
19.(本小題滿分12分)
已知函式f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x.
(1)求f(x)的最小正週期;
(2)若x∈［0,］,求f(x)的最大值、最小值.
20．(本小題滿分12分)
如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd為矩形，側稜pa⊥底面abcd，ab=，
bc=1，pa=2，e為pd的中點.
（ⅰ）求直線ac與pb所成角的余弦值；（ⅱ）在側面pab內找一點n，使ne⊥面pac，並求出n點到ab和ap的距離.
21.(本小題滿分14分)
在平面直角座標系中,已知an(n,an)、bn(n,bn)、cn(n-1,0)(n∈n*)，滿足向量與向量共線，且點bn(n,bn) (n∈n*)都在斜率為6的同一條直線上.
(1)試用a1,b1與n來表示an;
(2)設a1=a,b1=-a,且1222．(本小題滿分14分)
雙曲線的中心是原點o，它的虛軸長為，相應於焦點f（c,0）（c＞0）的準線l與x軸交於點a，且| of |= 3 | oa |。過點f的直線與雙曲線交於p、q兩點。
（ⅰ）求雙曲線的方程及離心率；
（ⅱ）若=0，求直線pq的方程。
23.(本小題滿分14分)
已知函式f(x)=mx3-x的圖象上，以n(1,n)為切點的切線的傾斜角為，
(1)求m,n的值；
(2)是否存在最小的正整數k，使得不等式f(x)≤k-1991對於x∈[-1,3]恆成立？如果存在，請求出最小的正整數k；如果不存在，請說明理由;
(3)求證：|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈r，t>0).
19解:（1）因為f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x=(cos2x+sin2x)·(cos2x－sin2x)－sin2x=cos2x－sin2x=cos(2x+),
所以f(x)的最小正週期t6分
(2)因為0≤x≤,所以≤2x+≤.
當2x+=時,cos(2x+)取得最大值;
當2x+=π時,cos(2x+)取得最小值－1.
所以f(x)在［0,］上的最大值為1,最小值為12分
20.（本小題14分）
解：（ⅰ）設ac∩bd=o，連oe，則oe//pb，
∴∠eoa即為ac與pb所成的角或其補角. …………3分
在△aoe中，ao=1，oe=
∴ …………5分
即ac與pb所成角的余弦值為.…………6分
（ⅱ）在面abcd內過d作ac的垂線交ab於f，則.
連pf，則在rt△adf中…10分
設n為pf的中點，連ne，則ne//df，
∵df⊥ac，df⊥pa，∴df⊥面pac，從而ne⊥面pac.
∴n點到ab的距離，n點到ap的距離 ……14分
21.(14分)
解：(1)∵點bn(n,bn)(n∈n*)都在斜率為6的同一條直線上，
6，即bn+1-bn=6,
於是數列是等差數列，故bn=b1+6(n-13分
∵共線.
∴1×(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn5分
∴當n≥2時，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1
a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-27分
當n=1時，上式也成立.
所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-28分
(2)把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a.
∵1222．（本小題14分）
（ⅰ）由題意，設曲線的方程為= 1（a＞0b＞0）
由已知解得a = ，c = 3
所以雙曲線的方程這= 1離心率e5分
（ⅱ）由（ⅰ）知a（1，0），f（3，0），
當直線pq與x軸垂直時，pq方程為x = 3 .此時,≠0,應捨去.
當直線pq與x軸不垂直時,設直線pq的方程為y = k( x – 3 ).
由方程組得
由一過點f的直線與雙曲線交於p、ｑ兩點，
則－２≠０，即k≠，
由於△＝36-4(-2)(9+6)
48(+1)＞即k∈r.
∴k∈r且k分
設則由直線pq的方程得= k（-3），= k（-3）
於是=（-3）（-3）= [-3（+）+ 9] （3）
0，1，）·（-1，）= 0
即-（+）+ 1 + = 0 （4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得
0 整理得k = 滿足（*）
∴直線pq的方程為x = -3 = 0或x +-3 = 0 ……………14分
23.(14分)
解：(1)f′(x)=3mx2-1,依題意，得tan,即1=3m-1,m=.
∴f′(x)=,n=.
(2)令f′(x)=2x2-1=0,得x=±.
當-10;
當0.又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f(3)=15.
因此，當x∈[-1,3]時-≤f(x)≤156分
要使得不等式f(x)≤k-1991對於x∈[-1,3]恆成立，則k≥-1991=2006. ………8分
所以，存在最小的正整數k=2006,使不得等式f(x)≤k-1991對於x∈[-1,3]恆成立.
(3)(方法1)：|f(sin)+f(cosx)|=|( sin3x-sinx)+( cos3x-cosx)|
sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|
sinx+cosx)[ (sin2x-sinxcosx+cos2x)-1]|
sinx+cosx|·|-sinxcosx-|=|sinx+cosx|3
311分
又∵t>0,∴t+≥
∴2f(t+)[ (t2+)-≥]2.
綜上可得，|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+)(x∈r,t>014分
(方法2)由(2)知，函式f(x)在[-1,-]上是增函式；在[-,]上是減函式；在[，1]上是增函式；
又f(-1)=,f
所以，當x∈[-1,1]時，-≤f(x)≤,即|f(x)|≤.
∵sinx,cosx∈[-1,1],∴|f(sinx)| ≤,|f(cosx)|≤.
∴|f(sinx)+f(cosx)| ≤|f(sinx)|+|f(cosx11分
又∵t>0.∴t+且函式f(x)在[1，+∞]上是增函式.
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