高中數學競賽講座26，，
26整除
整除是整數的乙個重要內容，這裡僅介紹其中的幾個方面：整數的整除性、最大公約數、最小公倍數、方冪問題.
ⅰ. 整數的整除性
初等數論的基本研究物件是自然數集合及整數集合. 我們知道，整數集合中可以作加、減、乘法運算，並且這些運算滿足一些規律（即加法和乘法的結合律和交換律，加法與乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，則不一定是整數. 由此引出初等數論中第乙個基本概念：
整數的整除性.
定義一：（帶餘除法）對於任一整數和任一整數，必有惟一的一對整數，使得，，並且整數和由上述條件惟一確定，則稱為除的不完全商，稱為除的餘數.
若，則稱整除，或被整除，或稱的倍數，或稱的約數（又叫因子），記為.否則， |.
任何的非的約數，叫做的真約數.
0是任何整數的倍數，1是任何整數的約數.
任一非零的整數是其本身的約數，也是其本身的倍數.
由整除的定義，不難得出整除的如下性質：
（1）若
（2）若
（3）若，則反之，亦成立.
（4）若.因此，若.
（5）、互質，若
（6）為質數，若則必能整除中的某乙個.
特別地，若為質數，
（7）如在等式中除開某一項外，其餘各項都是的倍數，則這一項也是的倍數.
（8）n個連續整數中有且只有乙個是n的倍數.
（9）任何n個連續整數之積一定是n的倍數.
本講開始在整除的定義同時給出了約數的概念，又由上一講的算術基本定理，我們就可以討論整數的約數的個數了.
ⅱ. 最大公約數和最小公倍數
定義二：設、是兩個不全為0的整數.若整數c滿足：，則稱的公約數，的所有公約數中的最大者稱為的最大公約數，記為.如果=1，則稱互質或互素.
定義三：如果、的倍數，則稱、的公倍數.的公倍數中最小的正數稱為的最小公倍數，記為.
最大公約數和最小公倍數的概念可以推廣到有限多個整數的情形，並用表示的最大公約數，表示的最小公倍數.
若，則稱互質，若中任何兩個都互質，則稱它們是兩兩互質的.注意，n個整數互質與n個整數兩兩互質是不同的概念，前者成立時後者不一定成立（例如，3，15，8互質，但不兩兩互質）；顯然後者成立時，前者必成立.
因為任何正數都不是0的倍數，所以在討論最小公倍數時，一般都假定這些整數不為0.同時，由於有相同的公約數，且（有限多個亦成立），因此，我們總限於在自然數集合內來討論數的最大公約數和最小公倍數.
ⅲ.方冪問題
乙個正整數能否表成個整數的次方和的問題稱為方冪和問題.特別地，當時稱為次方問題，當時，稱為平方和問題.
能表為某整數的平方的數稱為完全平方數.簡稱平方數，關於平方數，明顯有如下一些簡單的性質和結論：
（1）平方數的個位數字只可能是0，1，4，5，6，9.
（2）偶數的平方數是4的倍數，奇數的平方數被8除餘1，即任何平方數被4除的餘數只能是0或1.
（3）奇數平方的十位數字是偶數.
（4）十位數字是奇數的平方數的個位數一定是6.
（5）不能被3整除的數的平方被3除餘1，能被3整除的數的平方能被3整除.因而，平方數被9除的餘數為0，1，4，7，且此平方數的各位數字的和被9除的餘數也只能為0，1，4，7.
（6）平方數的約數的個數為奇數.
（7）任何四個連續整數的乘積加1，必定是乙個平方數.
例題講解
1．證明：對於任何自然數和，數都不能分解成若干個連續的正整數之積.
2．設和均為自然數,使得
證明：可被1979整除
3．對於整數與，定義求證：可整除
4．求一對整數，滿足：(1)不能被7整除；（2）能被77整除.
5．求設和是兩個正整數，為大於或等於3的質數，），試證：（1）；（2）或
6．盒子中各若干個球，每一次在其中個盒中加一球.求證：不論開始的分布情況如何，總可按上述方法進行有限次加球後使各盒中球數相等的充要條件是
7．求所有這樣的自然數，使得是乙個自然數的平方.
課後練習
1． 選擇題
（1）若數n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，則不是n的因數的最小質數是（ ）.
（a）19 （b）17 （c）13 （d）非上述答案
（2）在整數0、1、2…、8、9中質數有x個，偶數有y個，完全平方數有z個，則x+y+z等於（ ）.
（a）14 （b）13 （c）12 （d）11 （e）10
（3）可除盡311+518的最小整數是（ ）.
（a）2 （b）3 （c）5 （d）311+518（e）以上都不是
2． 填空題
（1）把100000表示為兩個整數的乘積，使其中沒有乙個是10的整倍數的表示式為
(2)乙個自然數與3的和是5的倍數,與3的差是6的倍數,這樣的自然數中最小的是
(3)在十進位制中,各位數碼是0或1,並且能被225整除的最小自然數是________.
3.求使為整數的最小自然數a的值.
4.證明:對一切整數n,n2+2n+12不是121的倍數.
5.設是乙個四位正整數,已知三位正整數與246的和是一位正整數d的111倍,又是18的倍數.求出這個四位數,並寫出推理運算過程.
6.能否有正整數m、n滿足方程m2+1954=n2.
7.證明：（1）133|（11n+2+12n+1），其中n為非負整數.
(2)若將(1)中的11改為任意乙個正整數a,則(1)中的12,133將作何改動?證明改動後的結論.
8.設a、b、c是三個互不相等的正整數.求證:在a3b-ab3,b3c-bc3,c3a-ca3三個數中,至少有乙個能被10整除.
9. 100個正整數之和為101101,則它們的最大公約數的最大可能值是多少?證明你的結論.
課後練習答案
１．ｂ．ｂ．ａ
３．由2000a為一整數平方可推出a=5．
４．反證法．若是１２１的倍數，設是素數且除盡（＋１）２，
∴１１除盡ｎ＋１１１２除盡（ｎ＋１）２或１１｜１１ｋ－１，不可能．
５．由是ｄ的１１１倍，可能是又是１８的倍數，∴只能是１９８．而是１９８４．
第一項可被１３３整除．又
（２）１１改為ａ．１２改為ａ＋１，１３３改為ａ（ａ＋１）＋１．改動後命題為可仿上證明．
同理有若ａ
、ｂ、ｃ中有偶數或均為奇數，以上三數總能被２整除．又∵在ａ、ｂ、ｃ中若有乙個是５的倍數，則題中結論必成立．若均不能被５整除，則ａ２，ｂ２，ｃ２個位數只能是１，４，６，９，從而的個位數是從１，４，６，９中，任取三個兩兩之差，其中必有０或±５，故題中三式表示的數至少有乙個被５整除，又２、５互質．
９．設１００個正整數為最大公約數為ｄ，並令
則故知不可能都是１，從而若取則滿足且ｄ＝１００１，故ｄ的最大可能值為１００１
例題答案：
1. 證明：由性質9知，只需證明數不能被乙個很小的自然數整除.因
3 1，故3 ，因而不能分解成三個或三個以上的連續自然數的積.
再證不能分解成兩個連續正整數的積.
由上知，，因而只需證方程：無正整數解.而這一點可分別具體驗算時，均不是形的數來說明.
故對任何正整數、都不能分解成若干個連續正整數之積.
2. 證明： ==
=1979×
兩端同乘以1319！得1319！ 此式說明1979|1319！×由於1979為質數，且1979 1319！，故1979|
【評述】把1979換成形如的質數，1319換成，命題仍成立.
牛頓二項式定理和為偶數),為奇數)在整除問題中經常用到.
3.證明：當時，
由於[…]能被整除，所以能被整除，另一方面，
上式中[…]能被整除，所以也能被整除.因與2+1互質，所以能被（2+1）（即）整除.
類似可證當時，f（2+1，）能被f（2+1,1）整除. 故能被整除.
4. =
根據題設要求(1)(2)知，即
令即即，則故可令即合要求.
5. 由已知得，兩式相乘得於是故
（1）現用反證法來證明.若令是的乙個質因子，則有因，則，從而於是是、的乙個公約數，這與=1矛盾，故.
（2）因為所以而為質數且，故或
6. 證明：設，則有使得，此式說明：
對盒子連續加球次，可使個盒子各增加了個，乙個增加個.這樣可將多增加了乙個球的盒子選擇為原來球數最少的那個，於是經過次加球之後，原來球數最多的盒子中的球與球數最少的盒子中的球數之差減少1，因此，經過有限次加球後，各盒球數差為0，達到各盒中的球數相等.
用反證法證明必要性.若，則只要在個盒中放個球，則不管加球多少次，例如，加球次，則這時個盒中共有球（個），因為所以不可能是的倍數，更不是的倍數，各盒中的球決不能一樣多，因此，必須.
7. 證明：（1）當時，，因（…）為奇數，所以要使n為平方數，必為偶數.逐一驗證知，n都不是平方數.
（2）當時，不是平方數.
（3）當時，，要n為平方數，應為奇數的平方，不妨假設=,則由於和是一奇一偶，左邊為2的冪，因而只能=1，於是得，由知為所求.
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