第四講：三角函式
1．了解任意角的概念、 弧度的意義、正確進行弧度與角度的換算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解餘切、正割、餘割的定義；
2．掌握三角函式的公式（同角三角函式基本關係式、誘導公式、和、差角及倍角公式）
3．能正確運用三角公式進行簡單的三角函式式的化簡、求值和條件等式及恒等式的證明．
4． 掌握正弦定理、餘弦定理，運用它們解三角形
1. 平方關係：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝ ，
2．誘導公式：規律：奇變偶不變，符號看象限
sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sincos
tan3．倍角公式
sin2cos2
tan2
型別一：求值
例1. 已知tan=2,求下列各式的值：
（1）; （2） 4sin2-3sincos-5cos2.
變式訓練1. 已知－，sin x＋cos x＝．
（1）求sin x－cos x的值．（2）求的值．
型別二：化簡
例2. 化簡：
變式訓練2.化簡［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·
型別三：角的變換
例3. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
變式訓練3：設cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，
求cos（+β）.
型別四：求解析式
例4：已知函式的定義域為，值域為 [ －5，1 ]，則常數a、b的值分別是
變式訓練4： 如圖為y=asin(x+)的圖象的一段，求其解析式.
型別五：求最值
例5：設函式（其中ω>0，a∈r），且f(x)的圖象在y軸右側的第乙個最高點的橫座標為．
（1）求ω的值；
（2）如果在區間的最小值為，求a的值．
變式訓練5：求下列函式的值域：
（1）y=;
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;
（3）y=2cos+2cosx.
型別六：求單調區間
例6：已知函式f(x)＝為偶函式，且函式y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
（ⅰ）求f（）的值；
（ⅱ）將函式y＝f(x)的圖象向右平移個單位後，再將得到的圖象上各點的橫座標伸長到原來的4倍，縱座標不變，得到函式y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調遞減區間.
變式訓練6：
已知函式
（i）求函式的最小正週期和單調增區間；
（ii）函式的圖象可以由函式的圖象經過怎樣的變換得到？
型別七：三角與不等式
例7：設的內角所對的邊長分別為，且．
（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的最大值．
變式訓練7：（ⅰ）在中，已知
（1）求證：成等差數列；（2）求角的取值範圍.
型別八：三角應用題
例8：某觀測站c在城a的南20西的方向上，由a城出發有一條公路，走向是南40東，在c處測得距c為31千公尺的公路上b處有一人正沿公路向a城走去，走了20千公尺後，到達d處，此時c、d間距離為21千公尺，問這人還需走多少千公尺到達a城？
變式訓練8：如圖，某地有三家工廠，分別位於矩形abcd的兩個頂點a，b及cd的中點p處．ab＝20km，bc＝10km．為了處理這三家工廠的汙水，計畫在矩形區域內（含邊界）且與a，b等距的o點建汙水處理廠，並鋪設三條排汙管道ao，bo，po．記鋪設管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函式關係式：
（i）設（rad），將表示成的函式；
（ii）設（km），將表示成的函式；
（2）請你選用（1）中的乙個函式關係式，確定汙水處理廠o的位置，使三條汙水管道的總長度最短．
三角函式章節測試題
一、選擇題
1． 若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx
a．3－cos2xb．3－sin2x c．3＋cos2xd．3＋sin2x
2． 設a>0，對於函式，下列結論正確的是 （ ）
a．有最大值而無最小值 b．有最小值而無最大值
c．有最大值且有最小值 d．既無最大值又無最小值
3． 函式f(x
a．在[0，]、上遞增，在、上遞減
b．、上遞增，在、上遞減
c．在、上遞增，在、 上遞減
d．在、上遞增，在、上遞減
4． y＝sin(x－)·cos(x－)，正確的是
a．t＝2π，對稱中心為(，0) b．t＝π，對稱中心為(，0)
c．t＝2π，對稱中心為(，0) d．t＝π，對稱中心為(，0)
5． 把曲線y cosx＋2y－1＝0先沿x軸向右平移，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程為 （ ）
a．(1－y)sinx＋2y－3＝0 b．(y－1)sinx＋2y－3＝0
c．(y＋1)sinx＋2y＋1＝0 d．－(y＋1)sinx＋2y＋1＝0
6．已知，函式y＝2sin(ωx＋θ)為偶函式(0＜θ＜π) 其圖象與直線y＝2的交點的橫座標為x1，x2，若| x1－x2|的最小值為π，則
a．ω＝2b．ω＝，θ＝
cd．ω＝2，θ＝
二、填空題
7． 已sin(－x)＝，則sin2x的值為
8．與y＝k有且僅有兩個不同交點，則k的取值範圍是 ．
9．已知＝1，則(1＋sinθ)(2＋cos
10．平移f (x)＝sin(ωx＋)(ω>0，－<<)，給出下列4個論斷：
⑴ 圖象關於x＝對稱 ⑵圖象關於點(，0)對稱
⑶ 週期是在[－，0]上是增函式
以其中兩個論斷作為條件，餘下論斷為結論，寫出你認為正確的兩個命題：
(12三、解答題
11．已知，（1）求的值；（2）求的值．
12. 已知tan且α、β∈（0，），求2α－β的值.
13.已知函式的最小正週期為π且圖象關於對稱；
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 若函式y＝1－f(x)的圖象與直線y＝a在上中有乙個交點，求實數a的範圍．
14．已知函式＝2cos2x＋2sinx cosx＋1.
(1) 若x∈[0，π]時，＝a有兩異根，求兩根之和；
(2) 函式y＝，x∈[，]的圖象與直線y＝4圍成圖形的面積是多少？
第3講參***：
例1. （1）原式=.（2）1 變式訓練1. ( 1 ) －，( 2 ) －
例2. 變式訓練2. 原式=
例3. ∴sin(α＋β)＝－coscos
變式訓練3：.∴cos=cos
∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.
例4：a、b的值為或變式訓練4： 所求解析式為y=sin.
例5：(1) ＝ (2) 由題設知－＋＋a＝故a＝
變式訓練5：（1）函式值域為.（2）令t=sinx+cosx, 函式的值域為.
（3）y=3cosx-sinx函式值域為［-2，2］.
例6：解：（ⅰ） f(x)=2cos2x.
（ⅱ） g(x)的單調遞減區間為 (k∈z)
變式訓練6：（i）的單調增區間為
（ii） 先把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移個單位長度，就得到的圖象.
例7：（ⅰ）即，則；
（ⅱ）由得
故當時，的最大值為.
變式訓練7：（2）
∵b∈（0，π），∴0＜b≤60°，∴角b的取值範圍是
例8：解：根據題意得圖02，其中bc=31千公尺，bd=20千公尺，cd=21千公尺，
∠cab=60．設∠acd = α ，∠cdb = β ．
在△cdb中，由餘弦定理得：，
．在△acd中，由正弦定理得：．
此人還得走15千公尺到達a城．
變式訓練8： （ⅰ）①由條件知pq 垂直平分ab，若∠bao= (rad) ，則, 故，又op＝10－10ta，
所以，所求函式關係式為
②若op= (km) ，則oq＝10－，所以oa =ob=
所求函式關係式為
（ⅱ）選擇函式模型①，
令0 得sin，因為，所以=，
當時， ，是的減函式；當時， ，是的增函式，所以當=時，。這時點p 位於線段ab 的中垂線上
三角函式章節測試題參***
1．c 2. b 3. a 4. b 7. . 8. 1＜k＜3 9. 4
10. (1) ②③①④ (2) ①③②④
11．解：(1) tan＝－(2)＝
12.2α－β＝－ 13.（1 （2） 或a＝1
14．＝2sin(2x＋)＋2由五點法作出y＝的圖象(略)
(1) 由圖表知：0＜a＜4，且a≠3當0＜a＜3時，x1＋x2＝
當3＜a＜4時，x1＋x2＝ (2) 由對稱性知，面積為(－)×4＝2π.
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