(時間:120分鐘,滿分:150分)
第ⅰ卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知一扇形的半徑為r,周長為3r,則該扇形的圓心角等於 ( )
a. b.1 c. d.3
【答案】 b
2.在梯形abcd中,ab∥cd,且|ab||dc|,設ab,則等於( )
a. a+b
c. a+b
【答案】 c
【解析】bba.故選c.
3.已知a、b均為單位向量,它們的夾角為60,那麼|a+3b|等於 ( )
a. b. c. d.4
【答案】 c
【解析】 ∵|a+3b||a|ab+9|b|cos60°+9=13,
∴|a+3b|.
4.若cos(-100°)=k,則tan80°等於( )
a. b.
c. d.
【答案】 b
【解析】 ∵cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=k,
∴cos80°=-k.∴sin80°.
∴tan80°.
5.電流強度i(安)隨時間t(秒)變化的函式i=asin (a>0的圖象如圖所示,則當時,電流強度是… ( )
a.-5安 b.5安
c.安 d.10安
【答案】 b
【解析】 由圖象知.則.
∴i=10sin(100
當時,i=10sin(2.
6.如圖,在四邊形abcd中,設=a, =b, =c,則等於( )
【答案】 a
7. 若o為△abc所在平面內一點,且滿足(－)· (+－2)=0則
△abc的形狀是（ ）
a.直角三角形
b.等腰三角形
c.等邊三角形
d.等腰直角三形
【答案】 b
【解析】設△abc中bc邊上的中點為d,
∵－=, +－2=－+－=+=2,
又∵·2=0,
∴⊥.則△abc為等腰三角形.
8.已知函式f(x)=sinx-cosr,則把導函式f′(x)的圖象向左平移個單位後得到的函式是( )
a. cosx b. cosx
c. sinx d. sinx
【答案】 a
9.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|若(a+bc=則a與c的夾角為( )
a.30° b.60° c.120° d.150°
【答案】 c
【解析】 由題意知a+b=(-1,-2),
設a+b與c的夾角為
∴(a+bc|a+b||c|cos.
∴cos.∴°.
又a+b=(-1,-2)與a=(1,2)共線且方向相反.
∴a與c的夾角為120°.
10.已知向量a=(cossinb=(1,2sin),若ab則tan的值為( )
a. b.
c. d.
【答案】 c
【解析】 由ab得cossinsin
又cossin
即1-2sinsinsin有sin.
若則sin
所以),則tan.
所以tan選c.
11.下列各式:
①|a|;
②(abc=abc);
③; ④在任意四邊形abcd中,m為ad的中點,n為bc的中點,則;
⑤a=(cossinb=(cossin且a與b不共線,則 (a+b) a-b).
其中正確的個數有( )
a.1 b.2 c.3 d.4
【答案】 d
【解析】 |a|=正確;
(abcabc);
正確;如圖所示,
且 兩式相加可得即命題④正確;
∵a,b不共線,且|a|=|b|=1,
∴a+b,a-b為菱形的兩條對角線,即得(a+b (a-b) .
∴命題①③④⑤正確.
12.設ab.定義一種向量積:
ab.已知mn點p(x,y)在y=sinx的圖象上運動,點q在y=f(x)的圖象上運動,滿足mn(其中o為座標原點),則y=f(x)的最大值a及最小正週期t分別為 ( )
a. b. c. d.
【答案】 c
【解析】 設
∵mn,∴ ∴
∴代入y=sinx中,得sin
∴y=f(x)的最大值為週期為4,選c.
第ⅱ卷二、填空題(本大題共4小題,每小題5分)
13.函式y=tan的單調區間是
【答案】z)
【解析】 y=-tan
由kz),
得z).
14.化簡(tan10
【答案】 -2
【解析】 原式
. 15.向量a、b滿足(a-ba+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,則a與b夾角的余弦值等於
【答案】
【解析】 設a與b的夾角為.
由(a-ba+b)=-4,
得2|a|ab-|b|
2|a||a||b|cos|b|.
又∵|a|=2,|b|=4,∴cos.
16.(2012山東濟南質檢)在△abc中°,如果不等式||||恆成立,則實數t的取值範圍是
【答案】
【解析】 由°可知°,
則由題意知||||||
即解得或.
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分12分)已知△abc的角a、b、c所對的邊分別是a、b、c,設向量m=(a,b),n=(sinb,sina),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求證:△abc為等腰三角形;
(2)若,邊長c=2,角求△abc的面積 .
【解】 (1)證明:∵m∥n,∴asina=bsinb,
即 其中r是△abc外接圓半徑,∴a=b.
∴△abc為等腰三角形.
(2)由題意可知=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0.
∴a+b=ab.
由餘弦定理可知
即 ∴ab=4(捨去ab=-1).
∴△abc的面積sinsin.
18.(本小題滿分12分)已知向量acosx,cosx),b=(0,sinx),c=(sinx,cosx),d=(sinx,sinx).
(1)當時,求向量a、b的夾角;
(2)當時,求的最大值.
【解】 (1)∵∴ab
則abcos.
∴向量a,b的夾角為.
(2) =(sinx,cossinx,sinx)=sinsinxcosx
sin2x-cos2x)
sin.
∵∴.當即時,取最大值.
19.(本小題滿分12分)已知a(-1,0),b(0,2),c(-3,1),且||.
(1)求d點的座標;
(2)用表示.
【解】 (1)設d(x,y),則.
∴5, ①
||. ②
聯立①②,解得或
∴d點的座標為(-2,3)或(2,1).
(2)當d點的座標為(-2,3)時
設 則(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3). ∴∴
∴. 當d點的座標為(2,1)時,設
則(-2,1)=p(1,2)+q(3,1), ∴∴
∴. ∴當d點的座標為(-2,3)時;
當d點的座標為(2,1)時.
20.(本小題滿分12分)已知函式f(x)=2cosxsinsinsinxcosx.
(1)求函式f(x)的最小正週期;
(2)求函式f(x)的最大值及最小值;
(3)寫出f(x)的單調遞增區間.
【解】 f(x)=2cossincoscos2x)+ sin2x
sincoscossin2x
=sincos2x=2sin.
(1)函式f(x)的最小正週期.
(2)當sin
即z),x=kz)時,f(x)有最大值2;
當sin即z),x=k-z)時,f(x)有最小值-2.
(3)由2kz),
解得kz.
∴f(x)的單調遞增區間是[kz.
21.(本小題滿分12分)已知o為座標原點,向量sincossin點p滿足.
(1)記函式討論函式的單調性,並求其值域;
(2)若o,p,c三點共線,求||的值.
【解】cossin
設 則cos.
由得x=2cossin
故cossin.
sincossin
sincossin
sinsincos
sincos
sin又故.
當即時單調遞減;
當即時單調遞增.
故函式的單調遞增區間為單調遞減區間為
因為sin
故函式的值域為.
cossinsin
由o,p,c三點共線可得sincossin
得tansin2.
||.22.(本小題滿分10分)已知函式f(x)=asinx+bcosx的圖象經過點和.
(1)求實數a和b的值;
(2)當x為何值時,f(x)取得最大值?
【解】 (1)依題意,有
. (2)由(1)知f(x)=sincosx=2sin.
因此,當z),即x=2k+z)時,f(x)取得最大值2.
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