一、選擇題
1.從5名學生中選出4名分別參加數學、物理、化學、外語競賽,其中a不參加物理、化學競賽,則不同的參賽方案種數為( )
a.24b.48
c.120d.72
解析:若不含a,則有a種;若含有a,則有c·c·a種.
∴a+c·c·a=72.
答案:d
2.(2023年福州模擬)已知集合a=,b=,c=,從這三個集合中各取乙個元素構成空間直角座標系中點的座標,則確定的不同點的個數為( )
a.33b.34
c.35d.36
解析:不考慮限定條件確定的不同點的個數為cca=36,但集合b、c中有相同元素1,由5,1,1三個數確定的不同點的個數只有三個,故所求的個數為36-3=33個.
答案:a
3.(2023年湖比卷)從5名志願者中選派4人在星期
五、星期
六、星期日參加公益活動,每人一天,要求星期五有一人參加,星期六有兩人參加,星期日有一人參加,則不同的選派方法共有( )
a.120種b.96種
c.60種d.48種
解析:5人中選4人則有c種,周五一人有c種,週六兩人則有c,週日則有c種,故共有c×c×c=60種,故選c.
答案:c
4.(2023年全國卷ⅰ)甲組有5名男同學,3名女同學;乙組有6名男同學、2名女同學.若從甲、乙兩組中各選出2名同學,則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有( )
a.150種b.180種
c.300種d.345種
解析:分兩類(1)甲組中選出一名女生有c·c·c=225種選法;
(2)乙組中選出一名女生有c·c·c=120種選法.故共有345種選法.選d.
答案:d
5.(2023年黃家中學月考)某外商計畫在四個候選城市投資3個不同的專案,且在同乙個城市投資的專案不超過2個,則該外商不同的投資方案有( )
a.16種b.36種
c.42種d.60種
解析:按條件專案可分配為2,1,0,0與1,1,1,0的結構,
∴cca+ca=36+24=60,故選d.
答案:d
二、填空題
6.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質的三塊土地上,其中黃瓜必須種植.不同的種植方法共有________種.
解析:∵黃瓜必選,故再選2種蔬菜的方法數是c種,在不同土質的三塊土地上種植的方法是a.∴種法共有c·a=18種.
答案:18
7.安排3名支教教師去4所學校任教,每校至多2人,則不同的分配方案共有________種.(用數字作答)
解析:分2類:(1)每校最多1人:a=24;(2)每校至多2人,把3人分兩組,再分到學校:ca=36,共有60種.
答案:60種
8.某校安排5個班到4個工廠進行社會實踐,每個班去乙個工廠,每個工廠至少安排乙個班,不同的安排方法共有________種.(用數字作答)
解析:由題意可知有乙個工廠安排2個班,另外三個工廠每廠乙個班,共有c·c·a=240種安排方法.
答案:240
三、解答題
9.某小組學生舉行畢業聯歡會,人員到齊後大家彼此握手,其中有2名學生各握了3次手後提前離開,其他學生都彼此握了手.若知握手的總次數為83次,試問該小組共有多少名學生?
解析:設開始時共有n+2名學生,除去2名提前離開的學生,其餘n人握手次數共有c次,離開的2人各握手3次,若他們之間未握手,則它們共握手6次;若他們之間握過手,則他們參加的握手共5次.
依題意,得c+6=83或c+5=83,即n2-n-154=0(無整數解)或n2-n-156=0,得n=13(n=-12捨去),∴該小組共有學生13名.
10.在一張節目表上原有6個節目,如果保持這些節目的相對順序不變,再新增進去三個節目,求共有多少種安排方法?
解析:法一:新增的三個節目有三類辦法排進去:
①三個節目連排,有ca種方法;②三個節目互不相鄰,有a種方法;③有且僅有兩個節目連排,有ccca種方法.根據分類計數原理共有ca+a+ccca=504種.
法二:從結果考慮,排好的節目表中有9個位置,先排入三個新增節目有a種方法,餘下的六個位置上按6個節目的原有順序排入只有一種方法.故所求排法為a=504種.
法三:=504.
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