三、假設檢驗的兩類錯誤
當假設正確時, 小概率事件也有可能發生, 此時我們會拒絕假設, 因而犯了「棄真」的錯誤, 稱此為第一類錯誤. 犯第一類錯誤的概率恰好就是「小概率事件」發生的概率, 即
p=.反之, 若假設不正確, 但一次抽樣檢驗結果, 未發生不合理結果, 這時我們會接受, 因而犯了「取偽」的錯誤,稱此為第二類錯誤. 記為犯第二類錯誤的概率, 即
p=.理論上, 自然希望犯這兩類錯誤的概率都很小。 當樣本容量n固定時, ,不能同時都小, 即變小時,就變大;而變小時,就變大.。
一般只有當樣本容量n增大時，才有可能使兩者變小。在實際應用中, 一般原則是: 控制犯第一類錯誤的概率, 即給定, 然後通過增大樣本容量n來減小.
關於顯著性水平的選取: 若注重經濟效益,可取小些, 如; 若注重社會效益,可取大些,如;若要兼顧經濟效益和社會效益, 一般可取.
四、假設檢驗問題的一般提法
在假設檢驗問題中, 把要檢驗的假設稱為原假設(零假設或基本假設), 把原假設的對立面稱為備擇假設或對立假設, 記為.
例如, 有一封裝罐裝可樂的生產流水線, 每罐的標準容量規定為350毫公升. 質檢員每天都要檢驗可樂的容量是否合格, 已知每罐的容量服從正態分佈, 且生產比較穩定時,其標準差毫公升. 某日上班後, 質檢員每隔半小時從生產線上取一罐, 共抽測了6罐, 測得容量(單位為毫公升)如下:
353, 345, 357, 339, 355, 360.
試問生產線工作是否正常?
本例的假設檢驗問題可簡記為:
1)形如(1)式的備擇假設, 表示可能大於, 也可能小於, 稱為雙側(邊)備擇假設. 形如(1)式的假設檢驗稱為雙側(邊)假設檢驗.
在實際問題中, 有時還需要檢驗下列形式的假設:
2)3)
形如(2)式的假設檢驗稱為右側(邊)檢驗;
形如(3)式的假設檢驗稱為左側(邊)檢驗;
右側(邊)檢驗和左側(邊)檢驗統稱為單側(邊)檢驗.
為檢驗提出的假設, 通常需構造檢驗統計量, 並取總體的乙個樣本, 根據該樣本提供的資訊來判斷假設是否成立.當檢驗統計量取某個區域w中的值時, 我們拒絕原假設,則稱區域w為拒絕域, 拒絕域的邊界佔稱為臨界點.
五、假設檢驗的一般步驟
(1) 根據實際問題的要求,充分考慮和利用已知的背景知識, 提出原假設及備擇假設;
(2) 給定顯著性水平以及樣本容量n;
(3) 確定檢驗統計量u, 並在原假設成立的前提下匯出u的概率分布, 要求u的分布不依賴於任何未知引數;
(4) 確定拒絕域, 即依據直觀分析先確定拒絕域的形式,然後根據給定的顯著性水平和u的分布, 由
p=確定拒絕域的臨界值, 從而確定拒絕域;
(5) 作一次具體的抽樣, 根據得到的樣本觀察值和所得的拒絕域, 對假設作出拒絕或接受的判斷.
六、多引數與非引數假設檢驗問題
原則上, 以上介紹的所有單引數假設檢驗的內容也適用於多引數與非引數假設檢驗問題, 只需在某些細節上作適當的調整即可, 這裡僅說明下列兩點:
(1) 對多引數假設檢驗問題, 要尋求乙個包含所有待檢驗引數的檢驗統計量, 使之服從乙個已知的確定分布;
(2) 非引數假設檢驗問題可近似地化為乙個多引數建設檢驗問題.
鑑於正態總體是統計應用中最為常見的總體, 在以下兩節中，我們將首先分別討論單正態總體與雙正態總體的引數假設檢驗.
例題選講：
例1 (講義例1) 某化學日用品有限責任公司用包裝機包裝洗衣粉, 洗衣粉包裝機在正常工作時, 裝包量(單位:), 每天開工後, 需先檢驗包裝機工作是否正常. 某天開工後, 在樁號的洗衣粉中任取9袋, 其重量如下:
假設總體標準差不變,即試問這天包裝機工作是否正常?
解 (1) 提出假設檢驗:
(2) 以成立為前提, 確定檢驗的統計量及其分布,
(3) 對給定顯著性水平確定的接受域或拒絕,取臨界點為使故被接受與拒絕的區域分別為
(4) 由樣本計算統計量的值
(5) 對假設作出推斷因為(拒絕域), 故認為這天洗衣粉包裝機工作不正常.
例2 (講義例2) 某廠生產的一種螺釘, 標準要求長度是68mm. 實際生產的產品， 其長度服從正態分佈考慮設檢驗問題
設為樣本均值，按下列方式進行假設檢驗:
當時，拒絕假設當時，接受假設
（1）當樣本容量時，求犯第一類錯誤的概率;
（2）當樣本容量時，求犯第一類錯誤的概率
（3）當不成立（設，又時，按上述檢驗法，求犯第二類錯誤的概率.
解當時, 有
所以(2) 當時, 有
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