數學試題
選擇題部分（共36分）
一、選擇題: 本大題共12小題，每小題3分,共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，若，則m所能取的一切值構成的集合為d ）
a、{} b、{} c、 d、
2．不等式的解集是 （d ）
a． b． c． d．
3.為了得到函式的影象，只需把函式的影象上所有的點c ）
a．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
b．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
c．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
d．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
4.不等式的解集為c )
（ab）
（cd）
5．設是等差數列的前n項和，若則 （ a ）
a．1 bc．2 d．
6．已知則的值是 （ c ）
a． bcd．
7a ）
a. b. c. d.
8. 已知點p()足約束條件 ,則的取值範圍為d )
a．[1,5b．[2,6c．[2,10d．[3,11]
9．半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點,則與兩點間的球面距離為 ( c )
a. b. c. d.
10．設隨機變數服從標準正態分佈，已知，則=(c )
a．0.025b．0.050c．0.950d．0.975
11．已知上具有單調性，則b的取值範圍是 （ a ）
a． b． c． d．
12、已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交於兩點．若，則b ）
（a）1bcd）2
非選擇題部分 （共64分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分。
13．在的展開式中，x5的係數為
14.在平面直角座標系xoy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值範圍是_______（-13，13）
15.過曲線y＝x3－2x上點（1，－1）的切線方程的一般形式是__x―y―2＝0或5x＋4y－1＝0
16、現安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學參加上海世博會志願者服務活動，每人從事翻譯、導遊、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加。甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙丁戌都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是 126
三、解答題: 本大題共6小題，共52分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．(本小題滿分8分) 已知函式(r,且)的部分圖象如圖所示．
(1) 求的值；
(2) 若方程
在內僅有乙個解,求實數m的取值範圍．
解：(1) 由圖象易知函式的週期為()=，∴．
又,且, 即, 解得:. 所以,
. [也可以按以下解釋: 上述函式的圖象可由的圖象沿軸負方向平移個單位而得到，∴其解析式為
(2) ∴，∴．設，
問題等價於方程在（0，1）僅有一根或有兩個相等的根．
方法一：∵ m = 3t2 t，t (0, 1). 作出曲線c：y = 3t2 t，t (0, 1)與直線l：y = m的圖象．
∵t =時，y =；t = 0時，y = 0；t = 1時，y = 2．
∴當 m =或0≤m<2時，直線l與曲線c有且只有乙個公共點．
∴m的取值範圍是：或
方法二：當僅有一根在(0, 1)時，令則得到; 或時，或時（捨去
當兩個等根同在（0,1）內時得到
綜上所述，m的取值範圍是：或
18．(本小題滿分8分)為防止某突發事件發生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供採用，單獨採用甲、乙、丙、丁預防措施後此突發事件不發生的概率（記為p）和所需費用如下:
預防方案可單獨採用一種預防措施或聯合採用幾種預防措施，在總費用不超過120萬元的前提下,請確定乙個預防方案，使得此突發事件不發生的概率最大.
解：採用乙個方案中最大的是甲，不發生的概率為0.9.；
採用兩個方案：甲、丙，不發生的概率為1—（1—0.9）（1—0.7）=0.97;
甲、丁，不發生的概率為1—（1—0.9）（1—0.6）=0.96;
同理，乙丙為0.94；乙丁為0.92；丙丁為0.88。
採用三個方案：乙、丙、丁，不發生的概率為1—（1—0.8）（1—0.7）（1—0.6）=0.974;
所以，採用乙、丙、丁聯合最好
19、(本小題滿分8分)已知函式，．
（ⅰ）討論函式的單調區間；
（ⅱ）設函式在區間內是減函式，求的取值範圍．
解：（1）求導：
當時，，，在上遞增
當，求得兩根為
即在遞增，遞減，遞增
（2），且解得：
20．(本小題滿分8分) 如圖,在四稜錐中,底面，, ,是的中點．
(1)證明；
(2)證明平面；
(3)求二面角的大小.
20、解：(1)證明：在四稜錐中，因底面，平面，故．，平面．而平面，．
(2) 證明：由，, 可得．
是的中點，．由(1)知，，且
，所以平面．而平面，
．底面在底面內的
射影是，，．又，
綜上得平面．
(3) 解法一：過點作，垂足為，鏈結．則由(2)知，平面，在平面內的射影是，則．因此是二面角的平面角．由已知，得．設，可得
．在中，，，則
．在中，．所以二面角的大小是．
解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為．
過點作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，鏈結，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，設，
可得．，．
於是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
21、(本小題滿分8分)給定拋物線c： f是c的焦點，過點f的直線與c相交於a、b兩點.
（ⅰ）設的斜率為1，求夾角的大小；
（ⅱ）設，求在軸上截距的變化範圍.
解：（ⅰ）c的焦點為f（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為
將代入方程，並整理得
設則有所以夾角的大小為
（ⅱ）由題設得
即由②得
聯立①、③解得，依題意有
∴又f（1，0），得直線l方程為
當時，l在方程y軸上的截距為
由可知在[4，9]上是遞減的，
∴ 直線l在y軸上截距的變化範圍為
22．(本小題滿分10分) 已知函式及正整數數列. 若,且當時,有; 又, ,且對任意恆成立. 數列滿足:.
(1) 求數列及的通項公式;
(2) 求數列的前項和；
(3) 證明存在，使得對任意均成立．
22、解：(1) 由得： .因為是正整數列,所以.於是是等比數列. 又, , 所以
因為,所以,於是:,說明是以2為公比的等比數列. 所以
因為, 由題設知：，解得：。
又因為且，所以。
於是。(2) 由得：.由及得：
設 ②
當時，①式減去②式, 得
於是,這時數列的前項和．
當時，．這時數列的前項和．
(3) 證明：通過分析，推測數列的第一項最大，下面證明：
由知，要使③式成立，只要，因為．
所以③式成立．
因此，存在，使得對任意均成立．
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