數字問題一直是中小學數學競賽中的熱門問題，解這類問題一般要用到整數的性質及解整數問題的常用方法，如數的整除性、剩餘類、奇偶分析、尾數的性質等。有時還得用解競賽題的一些技巧，如篩選、排除、列舉、區域性調整、從極端考慮等。
有一類特殊的數字問題，它們的條件與1到9這9個數字或0到9這10個數字有關，這就增加了題目的趣味性。解這類題目，要注意利用題目條件中有9個或10個不同數字這一條件，另外這9個或10個數字之和是9的倍數這個特點，也很有用。
例1 在下式中的每兩個相鄰數之間都添上乙個加號或減號，組成乙個算式。要求算式運算結果等於37，且這個算式中的所有減數（前面添了減號的數）的乘積盡可能的大。
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
那麼，這些減數的最大乘積是多少？
解：把10個數都添上加號，它們的和是55，如果把其中1個數的前面的加號換成減號，使這個數成為減數，那麼結果將要減少這個數的2倍。
因為55-37=18，所以我們變成減數的這些數之和是
18÷2=9。
對於大於2的數來說，兩數之和總比兩數乘積小。為了使這些數的乘積盡可能大，減數越多越好（不包括1）。9最多可拆成三數之和2+3+4=9，因此這些減數的最大乘積是2×3×4=24。
添上加、減號的算式是：
10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。
例2 我的歲數的3次方是乙個四位數，我的歲數的4次方是乙個六位數，要組成這兩個數，需要用遍0到9這10個數字。
我爺爺的歲數的平方是乙個四位數，他的歲數的3次方是乙個六位數，要組成這兩個數字，也要用遍0到9這10個數字。
問：我和爺爺的年齡各是多少？
解：設我的年齡x。注意到223=10648和174=83521是五位數，故應有17＜x＜22。
取x等於18，19，21（x顯然不應等於20），逐一計算他們的3次方與4次方，經驗證，只有18合乎題意：183=5832，184=104976。故x=18。
同理可以得到爺爺的年齡是69歲，驗證如下：
692＝4761，693＝328509。
例3 將1～9這9個數字填入下面方格中，且使積p最小：
p 9的乙個排列。為使p最小，顯然a1，a4，a7是1，2，3的乙個排列，不妨設a1=1，a4=2，a7=3。
又a2，a5，a8是4，5，6的乙個排列。逐一計算
14×25×36，15×24×36，14×26×35，
15×26×34，16×24×35，16×25×34，
可知14×25×36是六個積中最小的乙個。
故知a2=4，a5=5，a8=6。
如果我們掌握了下面的性質，「兩數和為定值時，兩數的積隨著這兩數差的減少而增大」的話，那麼上述驗證的解法可以簡化如下：對於積14×25×36，任意變換兩個乘數的個位數字，都會使兩乘數的和不變而差減少，從而它們的積也增大，故14×25×36是最小的。最後a3，a6，a9是7，8，9的乙個排列，用類似的方法得a3=7，a6=8，a9=9時，p=147×258×369積最小。
例4 能否將自然數1～10填入右圖所示的五角星各交點的「○」中，使每條直線上的四個數字之和都相等？
解：假定能夠做到，注意到在計算數字和時，每乙個數都被計算了2次，則每條直線上4個數字的和等於
（55×2）÷5=22。
考慮相交於10的兩條直線，可知10與1在同一條直線上，否則這兩直線的數字和不小於
2×10+（2+3+4+5+6+7）=47。
設與10不在同一條直線上的三個數為x，y，z，則
x+y+z＝55-2×22+10＝21。
又設x，y，1，u在同一條直線上，則x+y+u+1＝22，即x+y+u=21，z=u矛盾。故滿足題設的填法是不存在的。
例5 用1，2，…，9這9個數字，最多能組成多少個平方數？要求每個數字都要用一次且只能用一次。
解：一位平方數有3個：1，4和9。剩下6個數字中2和5，3和6可組成2個平方數25和36，但7和8不能組成平方數。注意到784=282，故一共可組成5個平方數：
1，9，25，36，784。
例6 用1，2，…，9這9個數字排成沒有重複數字的九位數，一共可以排多少個？這些數的最大公約數是多少，
解：根據乘法原理，一共可以排成
9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880（個）
沒有重複數字的九位數。因為其中每個九位數的數字和都是45，45是9的倍數，所以每個九位數都是9的倍數。而九位數***和987654312的差為9，故它們的最大公約數應是9。
例7 左下圖中有3個等邊三角形和3條通過4個點的直線。請你將1到9這9個自然數寫到9個黑點旁，使得每個等邊三角形頂點3個數字之和相等，又要使得每條直線上的4個數字之和相等。
解：3個三角形上的數字都是不同的，它們的數字之和相等，因此每個三角形上的數字之和等於45÷3=15。由此我們可以認為，3個三角形上的數字，恰好是縱橫圖上3條橫行，或者3條縱列（見右上圖）。
本題要對照三階縱橫圖求解。
把3條直線上所有數字相加，中間小三角形上數字要算2次，因此相加之和應是45+15=60，即每條直線上 4個數字之和應等於20。
解題的關鍵是確定中間小三角形上應是哪三個數。譬如，它是2，7，6，那麼7和6所在的直線上另外2個數字之和應是20-7-6=7，可是在三階縱橫圖其他兩條縱列上，每列各取一數相加之和是不能等於7的。對於（4，3，8）（2，9，4）和（6，1，8）作同樣考察，都會得到與（2，7，6）一樣的情況。
當中間小三角形上的3個數是1，5，9時，有5+9+4+2=20， 1+9+3+7=20和1+5+8+6=20，得到乙個解（見左下圖）。當中間小三角形上的3個數是7，5，3時，得到另乙個解（見右下圖）。
例8 能否在圓周上放置0，1，2，…，9這10個數字，使得任何兩個相鄰數的差為3，4或5？
解：因為0，1，2，8，9這5個數中的任何兩個都不能排在一起（否則相鄰數之差不是3，4或5），故它們之間都應隔著乙個數。但此時其餘的5個位置上都不能放置7，無論將7放到**，它都會與乙個相鄰數的差不是3，4或5中的乙個。
故滿足題意的放置方法是沒有的。
說明：一般而言，將0～n這n+1個數放置到圓周上，使任何兩數之差為3，4或5的問題，在n≤12時無解，在n≥13時有解，下圖是n=14時的一種放置方法。
例9 已知a1，a2，…，a10是0，1，2，…，9的乙個排列，a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，都是平方數，寫出它們的全部解。
解：本題宜採用窮舉與淘汰相結合的方法來解。先寫出1～99這99個數的平方，刪去其中有重複數字的平方數，如122=144等，在剩下的數中進行適當的組合，可以得到四個解：
（1）12=1，62=36，282=784，952=9025。
（2）32=9，92=81，242=576，482=2304。
（3）32=9，92=81，182=324，842=7056。
（4）32=9，42=16，282=784，552=3025。
例10 用1，2，…，9這9個數字，組成數字不重複使用的3個三位數，使得第2個數是第1個數的2倍，第3個數是第1個數的3倍。例如192，384，576。類似這樣的3個三位數還有好幾組。
如果這樣的三位數有n組，那麼在所有這3n個三位數中，最大的乙個與最小的乙個的差是多少？
解：在一組滿足條件的3個三位數中，第3個數最大，且是3的倍數，依次驗證987，984，981，其中981適合（（327，654，981）是一組滿足條件的3個三位數）。
在一組三位數中，第乙個最小，在123～192中經過試驗，只有192適合題意。
故本題的解為981-192=789。
說明：進一步的推算可知，滿足題設條件的三位數共有4組：
192，384，576；327，654，981；
219，438，657；273，546，819。
例11 用1，2，3，…，9這9個數字，寫出大小相等的3個分數，
解：我們先考慮這些分數都是真分數的情況，解題的關鍵是抓住以下兩個結論：
①三個分數中至多只有乙個最簡分數。
②數字5不會出現在某個分數的分子或分母的個位上。（為什麼？請讀者考慮。）
9個數字組成3個真分數，每個數字只用一次，有如下3種情況：
由②知5只能出現在某個分母的十位上，顯然這個分數不是最簡分數，故此分母要從51～59的合數中去選取。經試算可得3個解：
綜合（1）（2）（3）三種情況，滿足條件的真分數有7個解，分子分母顛倒後，又得7個解。本題共有14個解。
例12 兩人輪流從1，2，…，9這9個數字中取數。每次取乙個，誰先取的數中有3個數的和為15就算贏家。
如果第1個人取的數是5，那麼第2個人應該取幾才能使自己立於不敗之地？
分析與解：本題條件中的「和為15」，使我們聯想到右圖中的「幻方」，它的每行、每列及對角線的和都等於15。故本題等價於甲乙二人輪流將黑白二色棋子放入九宮格中，哪一方放入的棋子先成一行（橫行、豎行和斜行）者為勝。
甲先佔了中間一格，乙應選哪一格才能保證自己不敗？
這個問題實際上是「井字棋」遊戲，乙的對策如果不對，會導致失敗。假設乙選擇邊上的位置，比如選3，則甲選4，乙只好選6。甲再選2。
這時8，9這兩個位置乙只能選乙個，甲必得其一，這樣甲就必勝無疑了。
所以當甲選5時，乙應選九宮格中位於角上的數字，即應選2，4，6，8中的乙個，才能使自己立於不敗之地。]
練習5 1．將數碼1，2，3，4，5，6，7，8，9填入下面的9個方格中，組成3個三位數連乘的算式：
連乘積可能取到的最大值是多少？
2．在下面的一排數字之間填入 5個加號，組成乙個連加算式，將這個算式的計算結果的最大值記為a，最小值記為b，則a+b的值是多少？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3．請你將1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字填入下圖的方格中，使得每一行、每一列及兩條對角線上的3個數字和都不相等。
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