《校本實踐研修成果》
課堂設計
13.4 課題學習最短路徑問題
學習目標：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想。
學習重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為「兩點之間，線段最短」問題。
教學過程：
一．複習回顧
如圖所示，從a地到b地有三條路可供選擇，從節省時間的角度來看，你會選走哪條路？你的理由是什麼？
二．引入新課
前面我們研究過一些關於「兩點的所有連線中，線段最短」、「連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短」等的問題，我們稱它們為最短路徑問題．現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節將利用數學知識**數學史中著名的「將軍飲馬問題」．
問題1 如下圖，牧馬人從a地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然後到b地．牧馬人到河邊的什麼地方飲馬，可使所走的路徑最短？
三、**新知
1．將實際問題抽象為數學問題
師生活動：學生嘗試回答，並相互補充，最後達成共識．
（1）把a、b兩地抽象為兩個點；（2）把河邊l近似地看成一條直線（下圖），c為直線l上的乙個動點，那麼，上面的問題可以轉化為：當點c在l的什麼位置時，ac與cb的和最小．
2．嘗試解決數學問題（1）由這個問題，我們可以聯想到下面的問題：如圖，點a，b分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到乙個點，使得這個點到點a、點b的距離的和最短？
利用已經學過的知識，可以很容易地解決上面的問題，即：（1）連線ab，與直線l相交於一點，根據「兩點之間，線段最短」，可知這個交點即為所求．（2）現在要解決的問題是：點a，b分別是直線l同側的兩個點，如何在l上找到乙個點，使得這個點到點a、點b的距離的和最短？
（3）如何能把點b移到l的另一側b′處，同時對直線l上的任一點c，都保持cb與cb′的長度相等，就可以把問題轉化為「上圖」的情況，從而使新問題得到解決．（4）你能利用軸對稱的有關知識，找到符合條件的點b′嗎？
學生獨立思考後，嘗試畫圖，完成問題．小組交流，師生共同補充得出：
作出點b關於l 的對稱點 b′，利用軸對稱的性質，可以得到 cb′＝cb（下右圖）．連線ab′，則ab′與l 的交點即為所求．
3．證明「最短」
師生共同分析，合作證明「ac＋bc」最短．
證明：如上右圖，在直線l上的任一點c′（與點c不重合），連線ac′，bc′，b′c′，
由軸對稱的性質知：bc＝b′c，bc′＝b′c′．
∴ ac＋bc＝ac＋b′c＝ab′，ac′＋bc′＝ac′＋b′c′．
在△ab′c′中，ab′＜ac′＋b′c′，
∴ ac＋bc＜ac′＋bc′．即ac＋bc最短．
提問：證明ac＋bc最短時，為什麼要在直線l上任取一點c′（與點c不重合），證明ac＋bc＜ac′＋bc′？這裡「c′」的作用是什麼？學生相互交流，教師適時點撥，最後達成共識．
四、鞏固練習
已知p是△abc的邊bc上的點，你能在ab、ac上分別確定一點q和r，使△pqr的周長最短嗎？學生獨立完成，必要時教師點撥指導．
五、歸納總結
教學反思：
最短路徑問題從本質上說是最值問題，作為現階段的學生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面的數學經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手。
解答「當點a,b在直線的同側時，如何在l上找到點c，使ac和bc的和最小」，需要將其轉化為「直線l的異側的兩點，與l的點的線段和最小」的問題，為什麼需要轉化，怎樣通過軸對稱實現轉化，在理解上和操作上有困難。教學時需要老師適時點撥，讓學生理解。
教學感受：
1、把握教材、活用教材。
要把握好教材、明確教學目標，對教學要求要求要滾瓜濫熟於心。然後積極探索教學規律，大膽改進教學方法，提高教學水平，更要及時主動地更新教育觀念和轉變教師的角色。要樹立以學生為本的基本理念，建立民主、平等、和諧發展的師生關係。
要採用生生互動、師生互動的課堂教學模式，激發學生的創造動機，有效地啟迪學生的創新精神以及促進學生的基本技能、數學知識、情感態度、學習策略等素養的整體發展。
2、加強合作學習，注重情景教學。
在新課程改革中倡導學生在主動合作、交流中學會學習，懂得合作。對於學生之間通過傾聽、分享、交流、互助與反思，使每個人都可以從同伴那裡獲得資訊和啟示，進而豐富個體的情感和認識，促進學生順利地自我構建知識和創造知識。但要注意合作學習的誤區，合作學習不能簡單的停留在表面，而要看實質性的東西。
新課程要求把課堂還給學生，培養學生的動手、動腦的能力。
讓學生在生活情境中親近數學。只有從生活中來的數學才是有意義的數學。數學課程內容的呈現應該是貼近學生的生活現實，使學生體會到數學與現實的聯絡，認識數學的價值，增進數學的理解和應用數學的信心，激起學生親近數學的熱情。
情境教學在數學新課程教學中已顯出了旺盛的生命力。課堂教學中積極為學生創設各種情境，使課堂成為生活性、趣味性、活動性的課堂，讓學生產生濃厚的學習興趣，積極去發現、大膽地去創造，真正實現知識、能力、情感、態度、價值觀的全面發展。
3 、改變教學評價，注重評價實效
改變以前的那種單一的教學評價。採用多形式、多渠道的評價方法，建立開放、寬鬆的評價氛圍。要注重學生在評價中的主體地位，讓家長、學生、教師共同參與評價。
引導學生在學習中反思，在反思中學習，才能有效地增進他們的自我評價意識，使學生在學習過程中不斷體驗進步與成功，認識自我，建立自信。同時強調以形成性評價為主，以學生平時參與各種教學活動的表現和合作能力為主要依據，堅持正面鼓勵和激勵作用，注重評價的實際效果，以利於學生的終身學習和發展。
4、注重對學生自主學習習慣的培養
除了在課堂上加強對學生自主學習能力的培養，我還注重對學生課前預習能力和家裡學習作業能力的培養。教給他們自學的方法，引導他們怎樣進行課前預習，並要求學生把遇到的疑難問題要做好記錄，以便在課堂上與老師和同學一起**，提高學生的學習效率。
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