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熱力學與統計物理整理
1.1 試求理想氣體的體脹係數,壓強係數和等溫壓縮係數。
解：已知理想氣體的物態方程為
1）由此易得
2）3）
4）2.4 已知，求證
解：對復合函式
1）求偏導數，有
2）如果，即有
3）式（2）也可以用雅可比行列式證明：
2） 1.3 在和1下，測得一銅塊的體脹係數和等溫壓縮係數分別為可近似看作常量，今使銅塊加熱至。問：
（a）壓強要增加多少才能使銅塊的體積維持不變？（b）若壓強增加100，銅塊的體積改變多少？
解：（a）根據1.2題式（2），有
1）上式給出，在鄰近的兩個平衡態，系統的體積差，溫度差和壓強差之間的關係。如果系統的體積不變，與的關係為
2）在和可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得
3）將所給資料代入，可得
因此，將銅塊由加熱到，要使銅塊體積保持不變，壓強要增強
（b）1.2題式（4）可改寫為
4）將所給資料代入，有
因此，將銅塊由加熱至，壓強由增加，銅塊體積將增加原體積的倍。
1.14試根據熱力學第二定律證明兩條絕**不能相交。
解：假設在圖中兩條絕**交於點，如圖所示。設想一等溫線與
兩條絕**分別交於點和點（因為等溫線的斜率小於絕**的斜率，這樣的等溫線總是存在的），則在迴圈過程中，系統在等溫過程中從外界吸取熱量，而在迴圈過程中對外做功，其數值等於三條線所圍面積（正值）。迴圈過程完成後，系統回到原來的狀態。根據熱力學第一定律，有
。這樣一來，系統在上述迴圈過程中就從單一熱源吸熱並將之完全轉變為功了，
這違背了熱力學第二定律的開爾文說法，是不可能的。 因此兩條絕**不可能相交。
2.2 設一物質的物態方程具有以下形式：
試證明其內能與體積無關.
解：根據題設，物質的物態方程具有以下形式：
1）故有
2）但根據式（2.2.7），有
3）所以
4）這就是說，如果物質具有形式為（1）的物態方程，則物質的內能與體積無關，只是溫度t的函式.
2.3 求證：
解：焓的全微分為
1）令，得
2）內能的全微分為
3）令，得
4）2.9 證明范氏氣體的定容熱容量只是溫度t的函式，與比體積無關.
解：根據習題2.8式（2）
1）范氏方程（式（1.3.12））可以表為
2）由於在v不變時范氏方程的p是t的線性函式，所以范氏氣體的定容熱容量只是t的函式，與比體積無關.
不僅如此，根據2.8題式（3）
3）我們知道，時范氏氣體趨於理想氣體. 令上式的，式中的就是理想氣體的熱容量. 由此可知，范氏氣體和理想氣體的定容熱容量是相同的.
3.5 求證：
解：自由能是以為自變數的特性函式，求對的偏導數（不變），有
1）但由自由能的全微分
可得2）
代入式（1），即有
3）3.7 試證明在相變中物質摩爾內能的變化為
如果一相是氣相，可看作理想氣體，另一相是凝聚相，試將公式化簡.
解：發生相變物質由一相轉變到另一相時，其摩爾內能、摩爾焓和摩爾體積的改變滿足
1）平衡相變是在確定的溫度和壓強下發生的，相變中摩爾焓的變化等於物質在相變過程中吸收的熱量，即相變潛熱l：
克拉珀龍方程（式（3.4.6））給出3）即
4）將式（2）和式（4）代入（1），即有
5）如果一相是氣體，可以看作理想氣體，另一相是凝聚相，其摩爾體積遠小於氣相的摩爾體積，則克拉珀龍方程簡化為
6）式（5）簡化為
7） 4.1 若將看作獨立變數的函式，試證明：
（a）（b）
解：（a）多元系的內能是變數的一次齊函式. 根據歐勒定理（式（4.1.4）），有
1）式中偏導數的下標指全部個組元，指除組元外的其他全部組元.
（b）式（4.1.7）已給出
2）其中偏摩爾體積和偏摩爾內能. 將式（2）代入式（1），有
3）上式對的任意取值都成立，故有
4）補充習題1：根據玻爾茲曼分布推導理想氣體的物態方程。
補充習題2：
補充習題3：
對於處在平衡狀態的孤立系統，其粒子數n，體積v和能量e確定，試分別推導玻爾茲曼分布和玻色分布。
3.4 求證：
（a） （b）
二〇一三年十一月二十日
11光伏孟祥龍
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