數學（理）（北京卷）
本試卷共5頁，150分，考試時長120分鐘，考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回．
第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
（1）已知集合，，則
a． b． c． d．
（2）在復平面內，複數對應的點位於（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
（3）「」是「曲線過座標原點」的（ ）
a．充分而不必要條件b．必要而不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
（4）執行如圖所示的程式框圖，輸出的值為
a．1 b． c． d．
（5）函式的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線關於軸對稱，則
ab． cd．
（6）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為
ab． c． d．
（7）直線過拋物線的焦點且與軸垂直，則與所圍成的圖形的面積等於
ab．2 cd．
（8）設關於，的不等式組表示的平面區域內存在點，滿足，求得的取值範圍是
a． b． c． d．
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．
（9）在極座標系中，點到直線的距離等於 ．
（10）若等比數列滿足，，則公比 ；前項和 ．
（11）如圖，為圓的直徑，為圓的切線，與圓相交於，若，，則
（12）將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那麼不同的分法種數是 ．
（13）向量，，在正方形網格中的位置如圖所示，若，則 ．
（14）如圖，在稜長為2的正方體中，為的中點，點**段上，點到直線的距離的最小值為 ．
三、解答題共6小題，共50分．解答應寫出文字說明，演算步驟
（15）本小題共（13分）
在中，，，．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值．
（16）（本小題共13分）
下圖是某市3月1日至14日的空氣質素指數趨勢圖，空氣質素指數小於100表示空氣質素優良，空氣質素指數大於200表示空氣重度汙染．某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，並停留2天．
（ⅰ）求此人到達當日空氣重度汙染的概率；
（ⅱ）設是此人停留期間空氣質素優良的天數，求的分布列與數學期望；
（ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣質素指數方差最大？（結論不要求證明）
（17）（本小題共14分）
如圖，在三稜柱中，是邊長為4的正方形．平面平面，，．
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值；
（ⅲ）證明：**段上存在點，使得，並求的值.
（18）（本小題共13分）
設為曲線在點處的切線．
（ⅰ）求的方程；
（ⅱ）證明：除切點之外，曲線在直線的下方．
（19）（本小題共14分）
已知是橢圓上的三個點，是座標原點.
（ⅰ）當點是的右頂點，且四邊形為菱形時，求此菱形的面積；
（ⅱ）當點不是的頂點時，判斷四邊形是否可能為菱形，並說明理由.
（20）（本小題共13分）
已知是由非負整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，第項之後各項的最小值記為，．
（ⅰ）若為…，是乙個週期為4的數列（即對任意，），寫出的值;
（ⅱ）設是非負整數，證明：的充分必要條件為是公差為的等差數列;
（ⅲ）證明：若，，則的項只能是1或者2，且有無窮多項為1.
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