第一講整數與數列
1. 計算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16
計算：1×99 + 2×98 + 3×97 + … + 49×51
(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870
(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+…+(502-12)
=502×49-(492+482+472+…+12)
=2500×49-49×50×99÷6=82075
2. 計算：2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30
用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。
每個乘積的2個數分別提取個2，2×2＝4，相等於提取4。
2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30
＝4×（1×2 + 2×3 + 3×4 + … + 14×15）
括號內的，例題講過，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n
這樣構成了2個數列，乙個平方和，乙個等差數列（連續自然數）。
＝4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + … + 142+14）
＝4×[（12+22+32+…+142+）+（1+2+3+…+14）]
＝4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）＝4480
3. 我們把相差為2的兩個奇數稱為連續奇數，自然數***是否是兩個連續奇數的乘積？
1111155555＝1111100000 + 55555
＝11111×100000+11111×5
＝11111×（100000+5）
＝11111×100005（因100005比11111大，想辦法變小）
＝11111×20001×5（先考慮是5的倍數）
＝11111×6667×5×3（再看到20001是3個倍數）
＝33333×33335
找規律，方法如下：
1個1，1個5，15＝3×5
2個1，2個5，1155＝33×35
3個1，3個5，111555＝333×335
……n個1，n個5，11…155…55＝33…3×33…35(都是n位數)
所以，5個1，5個5，1111155555＝33333×33335
4. 47個互不相同的非零自然數之和為2000，問最少有多少個偶數？
先將最少多少個偶數，轉換為最多多少個奇數。
要想奇數最多，肯定越小越好，所以從1、3、5開始考慮，從1、3、5一直加到多少會接近2000呢？假設有n個奇數，第n個奇數是2n-1。
1+3+5+…+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2
n=44時，n2=1936；n=45時，n2=2025
所以n最大為44，47－44＝3，偶數最多3個。
給出一例：2000=1+3+5+…+85+87+(2+4+58)，保證3個偶數和為64即可（2000-1936=64）。
5. 計算：12345678987654321×9
這道題，將9變成(10-1)也不是太複雜，當然本題考孩子的是找規律。
12=1
112=121
1112=12321
11112=1234321 ……
數如果是n個1(1<=n<=9)，平方就是1…n…1。
所以12345678987654321×9＝1111111112×9
＝111111111×999999999
＝111111111×(1000000000－1)
＝111111111000000000－111111111
＝111111110888888889
6. 非零自然數的平方按照從小到大的順序連續排列，是：149162536……，則從左向右的第16個數字是________。
第16個數字再寫幾個就出來了，但是如果第160個就寫不出來只能計算了。
繼續寫下去，149162536496481100……，所以第16個數字是1。
計算過程如下：
平方數是1位的，有1、2、3，共3個。
平方數是2位的，有4、5、…、9，共6個。
平方數是3位的，有10、11、12、…、31，共22個。
平方數是4位的，有32、33、34、…、99，共68個。
因為，31的平方＝961（3位最大的）32的平方＝1024（4位最小的）
99的平方＝9801（4位最大的）100的平方＝10000（5位最小的）
1×3+2×6＝15， 1×3+2×6+3×22＝81
1×3+2×6+3×22+4×68＝272
從這個結果知道，16-15=1，第16個數字是「平方數是3位」的第1個數字，即：10的平方（100）中1。
160－81＝79，第160個數字是「平方數是4位」的第79個數字，79÷4＝19……3，即：第20個「平方數是4位」的左數第3個，32+20-1=51，51的平方＝2601，左數第3個是0。所以地160個數字是0。
7.對於每個不小於1的整數n，令an表示1+2+3+…+n的個位數字。例如a1＝1，a2＝3，a4＝0，a5＝5，則a1+a2+a3+…+a2007＝_______。
此題的關鍵是，看能否堅持下去，因為到20才出現週期。
題目求的是2007個數字的和。
2007÷20＝100……7，週期內的20個數字的和＝70，週期內前7個數字的和＝24
要求的結果＝100×70+24＝7024
四年級奧數第一講 找規律 一 教師版
第一講找規律 一 解題方法 我們常見到一些尋找一組數規律的題,一般情況下是觀察前後兩個數或一組數的變化規律。也可以根據相隔的每兩個數之間的關係找出規律,從而推斷出要填的數。例題1 找出下列數列的排列規律,並填上合適的數。0 3 9 18 步驟由上表可知它們的差分別是3 6 9 即按照3的1倍 2倍 ...
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