1.2023年全國卷ⅲ（本小題滿分14分）
設兩點在拋物線上，l是ab的垂直平分線.
（ⅰ）當且僅當取何值時，直線l經過拋物線的焦點f？證明你的結論；
（ⅱ）當直線l的斜率為2時，求l在y軸上截距的取值範圍.
解：（ⅰ）兩點到拋物線的準線的距離相等.
∵拋物線的準線是x軸的平行線，不同時為0，
∴上述條件等價於
上述條件等價於
即當且僅當時，l經過拋物線的焦點f.
（ii）設l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為；過點a、b的直線方程可寫為，所以滿足方程得；
a，b為拋物線上不同的兩點等價於上述方程的判別式
即設ab的中點n的座標為，則
由即得l在y軸上截距的取值範圍為（）.
2、已知實軸長為2a，虛軸長為2b的雙曲線s的焦點在x軸上，直線是雙曲線s的一條漸近線，而且原點o，點a（a，0）和點b（0，-b）使等式·成立.
（i）求雙曲線s的方程；
（ii）若雙曲線s上存在兩個點關於直線對稱，求實數k的取值範圍.
解：（i）根據題意設雙曲線s的方程為 …………2分
且解方程組得
所求雙曲線的方程為6分
（ii）當k=0時，雙曲線s上顯然不存在兩個點關於直線對稱；
7分當時，設又曲線s上的兩點m、n關於直線對稱，由
直線mn的方程為
則m、n兩點的座標滿足方程組
消去y得顯然即
設線段mn中點為
則在直線
10分即
即的取值範圍是 …………12分
3、若雙曲線c： 上存在兩個不同的點、關於過點右f的直線l對稱，求直線l的斜率的取值範圍.
解：(1)已知，當直線l過並與x軸垂直的直線不滿足題意，所以直線l的斜率存在，並且當直線l的斜率為零時雙曲線上存在無窮多個點關於ab對稱，所以成立。
當直線l斜率k存在且不為零時，直線l的方程為，設直線ab的方程為
由得…………（※）
設ab中點則，。把代入直線得化簡得
又（※）式判別式，即
化簡得。把代入得，解得或。
綜上：或k=0或。
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