專題十一解三角形
考綱解讀明方向
分析解讀
1.利用正弦定理、餘弦定理解三角形或者求解平面幾何圖形中有關量的問題,需要綜合應用兩個定理及三角形有關知識.
2.正弦定理和餘弦定理的應用比較廣泛,也比較靈活,在高考中常與面積或取值範圍結合進行考查.3.會利用數學建模思想,結合三角形的知識,解決生產實踐中的相關問題.
2023年高考全景展示
1．【2023年全國卷ⅲ文】的內角的對邊分別為，，，若的面積為，則
a. b. c. d.
【答案】c
點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和餘弦定理。
2．【2023年全國卷ⅲ文】若，則
a. b. c. d.
【答案】b
【解析】分析：由公式可得。
詳解：，故答案為b.
點睛：本題主要考查二倍角公式，屬於基礎題。
3．【2023年浙江卷】在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c．若a=，b=2，a=60°，則sin bc
【答案】 3
【解析】分析:根據正弦定理得sinb,根據餘弦定理解出c.
點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、餘弦定理結合已知條件靈活轉化為邊和角之間的關係，從而達到解決問題的目的.
4．【2023年文北京卷】若的面積為,且∠c為鈍角，則∠b的取值範圍是
【答案】
【解析】分析：根據題幹結合三角形面積公式及餘弦定理可得，可求得；再利用，將問題轉化為求函式的取值範圍問題.
詳解：，，即，，
則，為鈍角，，
，故.點睛：此題考查解三角形的綜合應用，餘弦定理的公式有三個，能夠根據題幹給出的資訊選用合適的餘弦定理公式是解題的第乙個關鍵；根據三角形內角的隱含條件，結合誘導公式及正弦定理，將問題轉化為求解含的表示式的最值問題是解題的第二個關鍵.
5．【2023年江蘇卷】在中，角所對的邊分別為，，的平分線交於點d，且，則的最小值為________．
【答案】9
【解析】分析：先根據三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.
詳解：由題意可知，,由角平分線性質和三角形面積公式得，化簡得，因此當且僅當時取等號，則的最小值為.
點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意「拆、拼、湊」等技巧，使其滿足基本不等式中「正」(條件要求中字母為正數)、「定」(不等式的另一邊必須為定值)、「等」(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.
6．【2023年新課標i卷文】△的內角的對邊分別為，已知，，則△的面積為________．
【答案】
點睛：該題考查的是三角形面積的求解問題，在解題的過程中，注意對正餘弦定理的熟練應用，以及通過隱含條件確定角為銳角，借助於餘弦定理求得，利用面積公式求得結果.
7．【2023年天津卷文】在中，內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知.
（i）求角b的大小；
（ii）設a=2，c=3，求b和的值.
【答案【解析】分析：（ⅰ）由題意結合正弦定理邊化角結合同角三角函式基本關係可得，則b=．
（ⅱ）在△abc中，由餘弦定理可得b=．結合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得
點睛：在處理三角形中的邊角關係時，一般全部化為角的關係，或全部化為邊的關係．題中若出現邊的一次式一般採用到正弦定理，出現邊的二次式一般採用到餘弦定理．應用正、餘弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制範圍．
2023年高考全景展示
1.【2017課標1，文11】△abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則c=
abcd．
【答案】b
【解析】
試題分析：由題意得
，即，所以．
由正弦定理得，即，得，故選b．
【考點】解三角形
【名師點睛】在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的資訊．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用餘弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特徵都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
2.【2017課標ii，文16】的內角的對邊分別為,若,則
【答案】
【解析】由正弦定理可得
【考點】正弦定理
【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、餘弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關係，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：
第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然後確定轉化的方向.
第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化.
第三步：求結果.
3.【2017浙江，13】已知△abc，ab=ac=4，bc=2．點d為ab延長線上一點，bd=2，鏈結cd，則△bdc的面積是______，cos∠bdc=_______．
【答案】
【解析】
【考點】解三角形
【名師點睛】利用正、餘弦定理解決實際問題的一般思路：（1）實際問題經抽象概括後，已知量與未知量全部集中在乙個三角形中，可以利用正弦定理或餘弦定理求解；（2）實際問題經抽象概括後，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時需要設出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要的解．
4.【2017課標3，文15】△abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c.已知c=60°，b=，c=3，則a
【答案】75°
【考點】正弦定理
【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、餘弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關係，從而達到解決問題的目的.其基本步驟是：
第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然後確定轉化的方向.
第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化.
第三步：求結果.
5.【2017浙江，11】我國古代數學家劉徽創立的「割圓術」可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意
精度．祖沖之繼承並發展了「割圓術」，將π的值精確到小數點後七位，其結果領先世界一千多年，「割圓術」
的第一步是計算單位圓內接正六邊形的面積
【答案】
【解析】
試題分析：將正六邊形分割為6個等邊三角形，則
【考點】數學文化
【名師點睛】本題粗略看起來文字量大，其本質為將正六邊形分割為6個等邊三角形，確定6個等邊三角形的面積，其中對文字資訊的讀取及提取有用資訊方面至關重要，考生面對這方面題目時應多加耐心，仔細分析題目中所描述問題的本質，結合所學進行有目的的求解．
6.【2017天津，文15】在中，內角所對的邊分別為.已知，.
（i）求的值；
（ii）求的值.
【答案【解析】
試題分析（ⅰ）首先根據正弦定理代入得到，再根據餘弦定理求得；（ⅱ）根據（ⅰ）的結論和條件，根據求，和以及正弦定理求得 ，再求，以及，最後代入求的值.
【考點】1.正餘弦定理；2.三角恒等變換.
【名師點睛】高考中經常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用餘弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現邊角互化；以上特徵都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．而三角變換中主要是「變角、變函式名和變運算形式」，其中的核心是「變角」，即注意角之間的結構差異，彌補這種結構差異的依據就是三角公式
7.【2017山東，文17】（本小題滿分12分）在△abc中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c,已知b=3,,s△abc=3,求a和a.
【答案】
【解析】
試題分析：先由數量積公式及三角形面積公式得,,由此求a,再利用餘弦定理求a.
【考點】解三角形
【名師點睛】正、餘弦定理是應用極為廣泛的兩個定理,它將三角形的邊和角有機地聯絡起來,從而使三角與幾何產生聯絡,為求與三角形有關的量(如面積、外接圓、內切圓半徑和面積等)提供了理論依據,也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運用初等幾何法．注意體會其中蘊涵的函式與方程思想、等價轉化思想及分類討論思想．
2023年高考全景展示
1.【2016高考新課標1文數】△abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c.已知,,,則b=（ ）
（a） （b） （c）2 （d）3
【答案】d
【解析】
試題分析：由餘弦定理得,解得（捨去）,故選d.
考點：餘弦定理
【名師點睛】本題屬於基礎題,考查內容單一,根據餘弦定理整理出關於b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因,請考生切記！
2.【2016高考山東文數】中，角a，b，c的對邊分別是a，b，c，已知,則a=（ ）
（a）（b）（c）（d）
【答案】c
【解析】
考點：餘弦定理
【名師點睛】本題主要考查餘弦定理的應用、三角函式的同角公式及誘導公式，是高考常考知識內容.本題難度較小，解答此類問題，注重邊角的相互轉換是關鍵，本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計算能力等.
3． [2016高考新課標ⅲ文數]在中，，邊上的高等於,則（ ）
（abcd）
【答案】d
【解析】
試題分析：設邊上的高線為，則，所以．由正弦定理，知，即，解得，故選d．
考點：正弦定理．
近年全國高考數學試題分項解析專題18雙曲線 文
專題十八雙曲線 考綱解讀明方向 分析解讀 1.能根據所給幾何條件求雙曲線方程,能靈活運用雙曲線定義及幾何性質確定基本元素.2.理解引數a b c e的關係,漸近線及其幾何意義.3.能夠把直線與雙曲線的位置關係的問題轉化為方程組解的問題,判斷位置關係及解決相關問題.4.能靈活運用數形結合的思想方法.5...
2023年全國高考理科數學試題 全國
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