2011-2012全國各中考數學試題分考點解析彙編圓的有關性質
1.（2011天津8分）已知ab與⊙o相切於點c，oa=ob．oa、ob與⊙o分別交於點d、e.
(i) 如圖①，若⊙o的直徑為8，ab=10，求oa的長(結果保留根號)；
(ⅱ)如圖②，連線cd、ce，若四邊形odce為菱形．求的值．
【答案】解：(i) 如圖①，連線oc，則oc=4。
ab與⊙o相切於點c，∴oc⊥ab。
在△oab中，由oa=ob，ab=10得。
在△rtoab中，。
如圖②，連線oc，則oc=od。
四邊形odce為菱形，∴od=dc。
∴△odc為等邊三角形。∴∠aoc=600。
a=300。∴。
【考點】線段垂直平分線的判定和性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，300角直角三角形的性質。
【分析】(i) 要求oa的長，就要把它放到乙個直角三角形內，故作輔助線oc，由ab與⊙o相切於點c可知oc是ab的垂直平分線，從而應用勾股定理可求oa的長。
由四邊形odce為菱形可得△odc為等邊三角形，從而得300角的直角三角形oac，根據300角所對的邊是斜邊的一半的性質得到所求。
2.（2011上海10分）如圖，點c、d分別在扇形aob的半徑oa、ob的延長線上，且oa＝3，ac＝2，cd平行於ab，並與弧ab相交於點m、n．
（1）求線段od的長；
（2）若，求弦mn的長．
【答案】解：（1）∵cd∥ab， ∴△oab∽△ocd。∴。
又∵oa=ob=3，ac=2，∴ ，∴od=5。
（2）過o作oe⊥cd，連線om，則me=mn，
∵tan∠c= ，∴設oe=，則ce=2。
在rt△oec中，oc2=oe2+ce2，即52=2+（2）2，解得= 。
在rt△ome中，om2=oe2+me2，即32=（ ）2+me2，解得me=2。
∴mn=4。
【考點】平行的性質，相似三角形的判定和性質，垂徑定理，銳角三角函式定義，勾股定理。
【分析】（1）根據cd∥ab可知，△oab∽△ocd，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出od的長。
（2）過o作oe⊥cd，連線om，由垂徑定理可知me= mn，再根據tan∠c= 可求出oe的長，利用勾股定理即可求出me的長，從而求出答案。
3.（2011遼寧撫順10分）如圖，ab為⊙o的直徑，弦cd垂直平分ob於點e，點f在ab延長線上，∠afc＝30°.
(1)求證：cf為⊙o的切線．
(2)若半徑on⊥ad於點m，ce＝，求圖中陰影部分的面積．
【答案】解：(1) 證明：連線oc、bc，
∵ cd垂直平分ob，∴ oc＝bc。
∵ ob＝oc，∴ ob＝oc＝bc。∴ △ocb是等邊三角形。
∴ ∠boc＝60°。
∵ ∠cfo＝30°，∴ ∠oce＝90°。∴ oc⊥cf。
∵ oc是⊙o的半徑，∴ cf是⊙o的切線。
(2) 連線od，由(1)可得∠cof＝60°，由圓的軸對稱性可得∠eod＝60°, de＝ce＝。
∴ ∠doa＝120°。
∵ om⊥ad，oa＝od，∴ ∠dom＝60°。
在rt△doe中，de＝，∠eod＝60°，s i n∠eod＝，∴ od＝2。
在rt△dom中，od＝2，∠dom＝60°，s i n∠dom＝，∴ dm＝，∴om＝1。
∴。【考點】等邊三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，圓切線的判定，圓的軸對稱性，銳角三角函式，扇形面積。
【分析】(1) 要證cf為⊙o的切線，根據圓切線的判定只要證cf垂直於過切點的半徑，故作輔助線：連線oc。又因為弦cd垂直平分ob，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質oc＝bc，故作輔助線：
連線bc。這樣即能證明△ocb是等邊三角形，從而即可在△ocｆ中應用三角形內角和定理證出∠oce＝90°。從而得證。
（2）要求圖中陰影部分的面積，只要用扇形ｏｄｎ的面積減去△oｄｍ的面積即可，故作輔助線：連線ｏｄ。在rt△doe和rt△dom中，分別應用銳角三角函式即可求出有關線段而求得陰影部分的面積。
4.（2011吉林長春6分）如圖，平面直角座標系中，⊙p與x軸分別交於a、b兩點，
點p的座標為（3，－1），ab=．
（1）求⊙p的半徑．
（2）將⊙p向下平移，求⊙p與x軸相切時平移的距離．
【答案】解：（1）作pc⊥ab於點c，
由垂徑定理得：ac=ab=×2=，pc=1。
在直角△pac中，由勾股定理得：pa2=pc2＋ac2，
即pa2=12＋（）2=4。∴pa=2。∴⊙p的半徑是2。
（2）將⊙p向下平移，當⊙p與x軸相切時，點p到x軸的距離等於半徑。
∴平移的距離是：2－1=1。
【考點】垂徑定理，座標與圖形性質，勾股定理，切線的性質。
【分析】（1）作pc⊥ab於點c，由垂徑定理即可求得ac的長，根據勾股定理即可求得pa的長。
（2）根據直線與圓相切的性質即可求解。
5．（2011廣西百色10分）已知ab為⊙o直徑，以ｏａ為直徑作⊙m。過b作⊙m得切線bc，切點為c，交⊙o於e。
（1）在圖中過點b作⊙m作另一條切線bd，切點為點d（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不用證明）；
（2）證明：∠eac＝∠ocb；
（3）若ab＝4，在圖2中過o作op⊥ab交⊙o於p，交⊙m的切線bd於n，求bn的值。
【答案】解：（1）作圖如下。
（2）證明：∵oa、ab分別為⊙m、⊙o的直徑， ∴∠aec＝∠aco＝90°。
∴∠eac＝90°－∠eca＝∠ocb。
（3）連線dm，則∠bdm＝90°。
∵ab＝4，∴bm＝3，md＝1，bo＝2。
∴在rt△bdm中，bd＝。
又∵∠bon＝∠bdm＝90°，∠obn＝∠dbm，
∴△bon∽△bdm。∴， 即 。
∴。【考點】尺規作圖，圓切線的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，平角定義，勾股定理，相似三角形的判定和性質。
【分析】（1）以點b為圓心，bc為直徑作圓，與⊙m相交於點d，直線bd即為另一條切線。
（2）由圓周角定理，三角形內角和定理和平角定義，經過等量代換即可證得。
（3）由△bon∽△bdm即可求得bn的值。
6.（2011廣西賀州8分）如圖，ab為⊙o的直徑，c為⊙o上一點，ad和過c點的切線
互相垂直，垂足為d．銳角∠dab的平分線ac交⊙o於點c，作cd⊥ad，垂足為d，
直線cd與ab的延長線交於點e．
（1）求證：ac平分∠dab；
（2）過點o作線段ac的垂線oe，垂足為e（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫
作法）；
（3）若cd＝4，ac＝4，求垂線段oe的長．
【答案】解：(1)連線oc，∵cd切⊙o於點c，∴oc⊥cd。
又∵ad⊥cd，∴oc∥ad。∴∠oca＝∠dac。
∵oc＝oa，∴∠oca＝∠oac。
∴∠oac＝∠dac。∴ac平分∠dab
（2）過點o作線段ac的垂線oe，如圖所示：
（3）在rt△acd中，cd＝4，ac＝4，
∴ad＝＝＝8
∵oe⊥ac，∴ae＝ac＝2
∵∠oae＝∠cad ，∠aeo＝∠adc，∴△aeo∽△adc。
∴＝。∴oe＝×cd＝×4＝。
即垂線段oe的長為。
【考點】圓切線的性質，平行的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的判定，尺規作圖，弦徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質。
【分析】（1）要證ac平分∠dab，即∠oac＝∠dac。一方面由切線的性質可證oc⊥cd，從而oc∥ad，得∠oca＝∠dac；另一方面由等腰三角形等邊對等角的性質，得∠oca＝∠oac。從而得證。
（2）分別以點a、c為圓心，大於ac長為半徑畫弧，兩弧的交點與事業o的邊線即為所作。
（3）要求垂線段oe的長，先由勾股定理求出ad的長，由弦徑定理求ae的長。然後由相似三角形的判定和性質即可求出。
7.（2011浙江湖州8分）如圖，已知ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab於點e，∠aoc＝60，oc＝2．
(1)求oe和cd的長；
(2)求圖中陰影部分的面積．
【答案】解：（1）在△oce中，
∵∠ceo＝90°，∠eoc＝60°，oc＝2，∴oe＝oc·cos∠eoc＝2×＝1。
∴ce＝oc·sin∠eoc＝2×＝。
∵oa⊥cd，∴ce＝de。∴cd＝。
（2）∵，
∴。【考點】扇形面積的計算，垂徑定理，解直角三角形，銳角三角函式，特殊角三角函式值。
【分析】（1）在△oce中，利用三角函式即可求得ce，oe的長，再根據垂徑定理即可求得cd的長。
（2）用半圓的面積減去△abc的面積，即可求解。
8．（2011湖南長沙8分）如圖，在⊙o中，直徑ab與弦cd相交於點p，∠cab=40°，∠apd=65°。
（1）求∠b的大小：
（2）已知圓心o到bd的距離為3，求ad的長。
【答案】解：（1）∵∠cab=∠cdb（同弧所對的圓周角相等），∠cab=40°，
∴∠cdb=40°。
又∵∠apd=65°，∴∠bpd=115°。
∴在△bpd中，∴∠b=180°－∠pdb－∠bpd=25°。
（2）過點o作oe⊥bd於點e，則oe=3。
∵ab是直徑，∴ad⊥bd（直徑所對的圓周角是直角）。∴oe∥ad。
又∵o是ab的中點，∴oe是三角形abd的中位線。∴ad=2oe=6。
【考點】圓周角定理，平角定義，三角形內角和定理，三角形中位線定理．
【分析】（1）由同弧所對的圓周角相等求得∠cab=∠cdb=40°，然後根據平角是180°求得∠bpd=115°，最後在在△bpd中依據三角形內角和定理求∠b即可。
（2）過點o作oe⊥bd於點e，則oe=3．根據直徑所對的圓周角是直角，以及平行線的判定知oe∥ad；又由o是直徑ab的半徑可以判定o是ab的中點，由此可以判定oe是三角形abd的中位線；最後根據三角形的中位線定理計算ad的長度。
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