典型例題一
例1 解不等式：（1）；（2）．
分析：如果多項式可分解為個一次式的積，則一元高次不等式（或）可用「穿根法」求解，但要注意處理好有重根的情況．
解：（1）原不等式可化為
把方程的三個根順次標上數軸．然後從右上開始畫線順次經過三個根，其解集如下圖的陰影部分．
∴原不等式解集為
（2）原不等式等價於
∴原不等式解集為
說明：用「穿根法」解不等式時應注意：①各一次項中的係數必為正；②對於偶次或奇次重根可轉化為不含重根的不等式，也可直接用「穿根法」，但注意「奇穿偶不穿」，其法如下圖．
典型例題二
例2 解下列分式不等式：
（1）； （2）
分析：當分式不等式化為時，要注意它的等價變形①②
（1）解：原不等式等價於
用「穿根法」
∴原不等式解集為。
（2）解法一：原不等式等價於
∴原不等式解集為。
解法二：原不等式等價於
用「穿根法」
∴原不等式解集為
典型例題三
例3 解不等式
分析：解此題的關鍵是去絕對值符號，而去絕對值符號有兩種方法：一是根據絕對值的意義
二是根據絕對值的性質：或，因此本題有如下兩種解法．
解法一：原不等式即∴或
故原不等式的解集為．
解法二：原不等式等價於
即∴．典型例題四
例4 解不等式．
分析：這是乙個分式不等式，其左邊是兩個關於二次式的商，由商的符號法則，它等價於下列兩個不等式組：
或所以，原不等式的解集是上面兩個不等式級的解集的並集．也可用數軸標根法求解．
解法一：原不等式等價下面兩個不等式級的並集：或或
或或或．
∴原不等式解集是．
解法二：原不等式化為．
畫數軸，找因式根，分區間，定符號．
符號∴原不等式解集是．
說明：解法一要注意求兩個等價不等式組的解集是求每組兩個不等式的交集，再求兩組的解的並集，否則會產生誤解．
解法二中，「定符號」是關鍵．當每個因式的係數為正值時，最右邊區間一定是正值，其他各區間正負相間；也可以先決定含０的區間符號，其他各區間正負相間．在解題時要正確運用．
典型例題五
例5 解不等式．
分析：不等式左右兩邊都是含有的代數式，必須先把它們移到一邊，使另一邊為0再解．
解：移項整理，將原不等式化為．
由恒成立，知原不等式等價於．
解之，得原不等式的解集為．
說明：此題易出現去分母得的錯誤解法．避免誤解的方法是移項使一邊為０再解．
另外，在解題過程中，對出現的二項式要注意其是否有實根，以便分析不等式是否有解，從而使求解過程科學合理．
典型例題六
例6 設，解關於的不等式．
分析：進行分類討論求解．
解：當時，因一定成立，故原不等式的解集為．
當時，原不等式化為；
當時，解得；
當時，解得．
∴當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為．
說明：解不等式時，由於，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因為當時，原不等式化為，此時不等式的解集為，所以解題時應分與兩種情況來討論．
在解出的兩根為，後，認為，這也是易出現的錯誤之處．這時也應分情況來討論：當時，；當時，．
典型例題七
例7 解關於的不等式．
分析：先按無理不等式的解法化為兩個不等式組，然後分類討論求解．
解：原不等式或
由，得：
由判別式，故不等式的解是．
當時，，，不等式組(1)的解是，不等式組(2)的解是．
當時，不等式組(1)無解，(2)的解是．
綜上可知，當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是．
說明：本題分類討論標準「，」是依據「已知及(1)中『，』，(2)中『，』」確定的．解含有引數的不等式是不等式問題中的難點，也是近幾年高考的熱點．一般地，分類討論標準（解不等式）大多數情況下依「不等式組中的各不等式的解所對應的區間的端點」去確定．
本題易誤把原不等式等價於不等式．糾正錯誤的辦法是熟練掌握無理不等式基本型別的解法．
典型例題八
例8 解不等式．
分析：先去掉絕對值號，再找它的等價組並求各不等式的解，然後取它們的交集即可．
解答：去掉絕對值號得，
∴原不等式等價於不等式組
∴原不等式的解集為．
說明：解含絕對值的不等式，關鍵是要把它化為不含絕對值的不等式，然後把不等式等價轉化為不等式組，變成求不等式組的解．
典型例題九
例9 解關於的不等式．
分析：不等式中含有字母，故需分類討論．但解題思路與一般的一元二次不等式的解法完全一樣：求出方程的根，然後寫出不等式的解，但由於方程的根含有字母，故需比較兩根的大小，從而引出討論．
解：原不等式可化為．
(1)當（即或）時，不等式的解集為：
；(2)當（即）時，不等式的解集為：
；(3)當（即或1）時，不等式的解集為：
．說明：對引數進行的討論，是根據解題的需要而自然引出的，並非一開始就對引數加以分類、討論．比如本題，為求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小於小根或大於大根．但與兩根的大小不能確定，因此需要討論，，三種情況．
典型例題十
例10 已知不等式的解集是．求不等式的解集．
分析：按照一元二次不等式的一般解法，先確定係數的正負，然後求出方程的兩根即可解之．
解：(解法1)由題可判斷出，是方程的兩根，
∴，．又的解集是，說明．
而， ，
∴．∴，即，
即．又，∴，
∴的解集為．
(解法2)由題意可判斷出，是方程的兩根，
∴．又的解集是，說明．
而， ．
對方程兩邊同除以得
．令，該方程即為
，它的兩根為，，
∴，．∴，，
∴方程的兩根為，．
∵，∴．
∴不等式的解集是．
說明：(1)萬變不離其宗，解不等式的核心即是確定首項係數的正負，求出相應的方程的根；(2)結合使用韋達定理，本題中只有，是已知量，故所求不等式解集也用，表示，不等式係數，，的關係也用，表示出來；(3)注意解法2中用「變換」的方法求方程的根．
典型例題十二
例12 若不等式的解為，求、的值．
分析：不等式本身比較複雜，要先對不等式進行同解變形，再根據解集列出關於、式子．
解：∵，
，∴原不等式化為．
依題意，
∴． 說明：解有關一元二次方程的不等式，要注意判斷二次項係數的符號，結合韋達定理來解．
典型例題十三
例13 不等式的解集為，求與的值．
分析：此題為一元二次不等式逆向思維題，要使解集為，不等式需滿足條件，，的兩根為，．
解法一：設的兩根為，，由韋達定理得：
由題意：
∴，，此時滿足，．
解法二：構造解集為的一元二次不等式：
，即，此不等式與原不等式應為同解不等式，故需滿足：
∴，．說明：本題考查一元二次方程、一元二次不等式解集的關係，同時還考查逆向思維的能力．對有關字母抽象問題，同學往往掌握得不好．
典型例題十四
例14 解關於的不等式．
分析：本題考查一元一次不等式與一元二次不等式的解法，因為含有字母係數，所以還考查分類思想．
解：分以下情況討論
(1)當時，原不等式變為：，∴
(2)當時，原不等式變為： ①
①當時，①式變為，∴不等式的解為或．
②當時，①式變為． ②
∵，∴當時，，此時②的解為．當時，，此時②的解為．
說明：解本題要注意分類討論思想的運用，關鍵是要找到分類的標準，就本題來說有**分類：
分類應做到使所給引數的集合的並集為全集，交集為空集，要做到不重不漏．另外，解本題還要注意在討論時，解一元二次不等式應首選做到將二次項係數變為正數再求解．
典型例題十五
例15 解不等式．
分析：無理不等式轉化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下，可轉化為或，而等價於：
或．解：原不等式等價於下面兩個不等式組：
① ②
由①得，∴
由②得∴ ，
所以原不等式的解集為，即為．
說明：本題也可以轉化為型的不等式求解，注意：
，這裡，設全集，，
則所求不等式的解集為的補集，
由或．即，∴原不等式的解集是．
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100測評網高二數學練習卷不等式證明
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