第一講座標係
一、選擇題
1．將點的直角座標(－2，2)化成極座標得( )．
a．(4b．(－4c．(－4d．(4，)
2．極座標方程 ρcosθ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲線是( )．
a．乙個圓b．兩條射線或乙個圓
c．兩條直線d．一條射線或乙個圓
3．極座標方程化為普通方程是( )．
a．y2＝4(x－1b．y2＝4(1－x)
c．y2＝2(x－1d．y2＝2(1－x)
4．點p在曲線 ρ cosθ＋2ρ sinθ＝3上，其中0≤θ≤，ρ＞0，則點p的軌跡是( )．
a．直線x＋2y－3＝0b．以(3，0)為端點的射線
c． 圓(x－2)2＋y＝1d．以(1，1)，(3，0)為端點的線段
5．設點p在曲線 ρsin θ＝2上，點q在曲線 ρ＝－2cos θ上，則|pq|的最小值為
( )．
a．2b．1c．3d．0
6．在滿足極座標和直角座標互的化條件下，極座標方程經過直角座標系下的伸縮變換後，得到的曲線是( )．
a．直線b．橢圓c． 雙曲線d． 圓
7．在極座標系中，直線，被圓 ρ＝3截得的弦長為( )．
abcd．
8．ρ＝(cos θ－sin θ)(ρ＞0)的圓心極座標為( )．
a．(－1b．(1cd．(1，)
9．極座標方程為lg ρ＝1＋lg cos θ，則曲線上的點(ρ，θ)的軌跡是( )．
a．以點(5，0)為圓心，5為半徑的圓
b．以點(5，0)為圓心，5為半徑的圓，除去極點
c．以點(5，0)為圓心，5為半徑的上半圓
d．以點(5，0)為圓心，5為半徑的右半圓
10．方程表示的曲線是( )．
a． 圓b．橢圓c． 雙曲線d． 拋物線
二、填空題
11．在極座標系中，以(a，)為圓心，以a為半徑的圓的極座標方程為
12．極座標方程 ρ2cos θ－ρ＝0表示的圖形是 ．
13．過點(，)且與極軸平行的直線的極座標方程是 ．
14．曲線 ρ＝8sin θ和 ρ＝－8cos θ(ρ＞0)的交點的極座標是 ．
15．已知曲線c1，c2的極座標方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ (其中0≤θ＜)，則c1，c2交點的極座標為 ．
16．是圓 ρ＝2rcos θ上的動點，延長op到q，使|pq|＝2|op|，則q點的軌跡方程是
三、解答題
17．求以點a(2，0)為圓心，且經過點b(3，)的圓的極座標方程．
18．先求出半徑為a，圓心為(ρ0，θ0)的圓的極座標方程．再求出
(1)極點在圓周上時圓的方程；
(2)極點在週上且圓心在極軸上時圓的方程．
19．已知直線l的極座標方程為，點p的直角座標為(cosθ，sinθ)，求點p到直線l距離的最大值及最小值．
20．a，b為橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)上的兩點，o為原點，且ao⊥bo．
求證：(1)為定值，並求此定值；
(2)△aob面積的最大值為，最小值為．
參***
一、選擇題
1．a解析：ρ＝4，tan θ＝，θ＝．故選a．
2．d解析：∵ ρcosθ＝2sin θ cos θ，∴cos θ＝0或 ρ＝2sinθ，ρ＝0時，曲線是原點；ρ＞0時，cos θ＝0為一條射線，ρ＝2sinθ時為圓．故選d．
3．b解析：原方程化為，即，即y2＝4(1－x)．故選b．
4．d解析：∵x＋2y＝3，即x＋2y－3＝0，又∵ 0≤θ≤，ρ＞0，故選d．
5． b
解析：兩曲線化為普通方程為y＝2和(x＋1)2＋y2＝1，作圖知選b．
6．d解析：曲線化為普通方程後為，變換後為圓．
7．ｃ解析：直線可化為x＋y＝，圓方程可化為x2＋y2＝9．圓心到直線距離d＝2，
∴弦長＝2＝．故選ｃ．
8．b解析：圓為：x2＋y2－＝0，圓心為，即，故選b．
9．b解析：原方程化為ρ＝10cos θ，cos θ＞0．∴0≤θ＜和＜θ＜2π，故選b．
10．c
解析：∵1＝ρ－ρcos θ＋ρsin θ，∴ρ＝ρcos θ－ρsin θ＋1，∴x2＋y2＝(x－y＋1)2，
2x－2y－2xy＋1＝0，即xy－x＋y＝，即(x＋1)(y－1)＝－，是雙曲線xy＝－的平移，故選ｃ．
二、填空題
11．ρ＝2asin θ．
解析：圓的直徑為2a，在圓上任取一點p(ρ，θ)，
則∠aop＝－θ或θ－，
∵ρ＝2acos∠aop，
即＝2asin θ．
12．極點或垂直於極軸的直線．
解析：∵ρ·(ρ cos θ－1)＝0，
∴ρ＝0為極點，ρ cos θ－1＝0為垂直於極軸的直線．
13．ρ sin θ＝1．
解析：×．
14．(4，)．
解析：由8sin θ＝－8cos θ 得tan θ＝－1．
ρ＞0得 θ＝；
又由 ρ＝8sin得 ρ＝4．
15．．
解析：由 ρcosθ＝3有 ρ＝，＝4cosθ，cos2θ＝，θ＝；
消去θ得 ρ2＝12，ρ＝2．
16．ρ＝6rcos θ．
解析：設q點的座標為(ρ，θ)，
則p點的座標為，代回到圓方程中得ρ＝2rcos θ，ρ＝6rcos θ．
三、解答題
17．解析：在滿足互化條件下，先求出圓的普通方程，然後再化成極座標方程．
∵a(2，0)，由餘弦定理得ab2＝22＋32－2×2×3×cos＝7，
∴圓方程為(x－2)2＋y2＝7，
由得圓的極座標方程為(ρcos θ－2)2＋(ρsin θ)2＝7，
即 ρ2－4ρcos θ－3＝0．
18．(1)解析：記極點為o，圓心為c，圓周上的動點為p(ρ，θ)，
則有cp2＝op2＋oc2－2op·oc·cos∠cop，
即a2＝ρ2＋－2ρ·ρ0·cos(θ－θ 0)．
當極點在圓周上時，ρ0＝a，方程為 ρ＝2acos(θ－θ 0)；
(2)當極點在圓周上，圓心在極軸上時，ρ0＝a，θ 0＝0，方程為 ρ＝2acosθ．
19．解析：直線l的方程為4＝ρ(cosθ－sinθ)，即x－y＝8．
點p(cosθ，sinθ)到直線x－y＝8的距離為，∴最大值為，最小值為．
20．解析：(1)將方程化為極座標方程得，
設a(ρ1，θ1)，b，
則，為定值．
(2) s△aob＝ρ1ρ2＝
，當時，s△aob最小值為，
當θ1＝0時，s△aob最大值為．
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