（第3課時）
1．平面圖形翻摺問題
將平面圖形沿直線翻摺成立體圖形，實際上是以該直線為軸的乙個旋轉。求解翻摺問題的基本方法是：先弄清哪些量和位置關係在翻摺過程中發生了變化，哪些沒有發生變化，然後將沒有發生變化的條件集中到立體圖形中，將問題歸結為乙個條件與結論均明朗化的立幾問題。
一般情形下，在同一半平面之內的幾何元素之間的關係是不變的，涉及到兩個半平面之內的幾何元素之間的關係是變的。
例．如圖，為中邊上的高，在上取點，使，過作直線
平行於，交於，交於，把沿折過去，此時點到了的位置，成了乙個立體圖，如果，求證： 平面。
分析：連線，在中，利用餘弦定理可以求出，根據勾股定理可知是直角三角形，，即 ，
又∵ ，∥，∴ ，故有面。
點評：本題是翻摺後證線面垂直。
例．矩形，，，把平面沿對角線折起，使半平面和半平面互相垂直，求、間的距離。
解：如圖，半平面折起後，點到了的位置，在平面內作於，則平面，∴ 。
，，設，則，
∴，∴。
故所求的距離為 。
點評：本題是翻摺後求兩點距離。
例．已知，，，把這個三角形沿斜邊上的高折成60的二面角，點到了點，求。
解：∵ ， ，∴，
∴，其中，
， ，∴ 。
點評：本題是翻折後求角。
2．立體圖形展開問題
將立體圖形展開成平面圖形後，弄清幾何體中的相關點、線在展開圖中的位置是解題的關鍵。
例．蜘蛛沿長方體的表面從乙個頂點爬到過此頂點的對角線上的另乙個頂點的最短距離是多少？
解：把長方體側面展開，立體圖形中的、在展開圖中的相應位置如圖，線段即為最短距離。
說明：本題是利用立體的側面展開圖把立體表面的位移問題轉化為平面內的位移問題。
例.（高二）若四面體abcd的一條稜長為x，其餘稜長為1 ，則x 的取值範圍是
分析：如圖，設ab＝ x , 其餘稜長為1，
固定三角形bcd， acd 繞cd轉動操作，
當a b時，x 0；
當a a』 (a』∈ 平面bcd)時，x ；
∴ x ∈( 0,) 。
例（2023年高考理科北京題）．如圖，在正三稜柱中，ab＝3，，m為的中點，p是bc上一點，且由p沿稜柱側面經過稜到m的最短路線長為，設這條最短路線與的交點為n，求：
（i）該三稜柱的側面展開圖的對角線長;
（ii）pc和nc的長;
解：（i）正三稜柱的側面展開圖是乙個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為.
（ii）如圖1，將側面繞稜旋轉使其與側成在同一平面上，點p運動到點的位置，連線，則就是由點p沿稜柱側面經過稜到點m的最短路線.
設，則，在中，由勾股定理得
求得.1．已知平行四邊形，其中，，，沿對角線把它折成直二面角，連線。
⑴ 求三稜錐-的體積。
⑵ 求與平面所成的角。
⑶ 求異面直線、所成的角。
⑷ 求、間的距離。
（分析題目時使用左圖，寫解答過程時請使用右圖。）
解：⑴ 在中，，
，作於，
由得 ，
∵ 平面平面，∴ 平面，∴。
⑵ 作於，同理 ，且平面，
在中，，，
∴，連線，則 ，
在中，，
在中，，即與平面所成的角為。
⑶ 作 ，連線、，在中，
，又 ，
∴ 在中， ，
在中，，
∴異面直線、所成的角為。
⑷ ∵∥，∴∥平面，與的距離轉化為與平面的距離，這只要求上一點到平面的距離（設為），連線，則，而 ，
又 ，
由得 。
點評：本題是翻摺後求體積、面面夾角、線線夾角、線線距離。
2．如圖，為矩形，把此矩形沿對折，使點在平面內的射影恰在上，已知，，，求、間的距離。
（分析題目時使用左圖，寫解答過程時請使用右圖。）
解：作於，連線，
∵ 面， ，
∴ （三垂線逆定理），
∴∽, ∴，即，
而在中有，∴，即，
∴，在中有，
即，∴ （）。
點評：本題是翻摺後求兩點距離。
3．如圖，已知矩形，，， =，把沿折起到的位置，若=，問折成的二面角--等於多少度？
（分析題目時使用左圖，寫解答過程時請使用右圖。）
解：翻摺前的圖中，取中點，連線與交於，則 ，，
翻摺後的圖中，就是二面角--的平面角。
在中有，
即，在中有，
即，在中有，
即，則，
即，∴，
故折成的二面角--等於。
點評：本題是翻摺後求二面角的度數。
4．如圖，四邊形中， =， ， ，將四邊形沿對角線折起，記點在折起後的位置為，使平面平面。
⑴ 求證： 平面；
⑵ 求證：平面平面。
證明∴ ，∴ ，
∵ 平面平面，∴ 平面；
⑵ 由⑴有平面，∴ ，
又麵折成面的前後沒有發生變化，∴ ，
又 = ，∴ 平面，
而平面，∴平面平面。
5．已知長方形的長為寬的倍，把它折成正三稜住的側面，使與重合，長方形的對角線與摺痕、分別交於、，求平面與稜柱底面所成的角。
解：設 ，則 ，
在長方形中，可以求出 ， ，
在三稜柱中，∵ 截面三角形為等腰三角形，
∴ ， ，
設平面與稜柱底面所成的角為，則 ，
∴ 。
6．乙個正方體紙盒展開後（如圖），在原正方形紙盒中有下列結論：
1 ab ⊥ ef ；
2 ab與cm成600 角；
3 ef與mn是異面直線；
4 nn ∥cd 。
其中正確結論的序號是
答案是：①、③
點評：關鍵是抓住摺疊前後的不變數。
7（２００２年上海高考理科題）．乙個正方體表面的一種展開圖如右圖，圖中的四條線段ａｂ、ｃｄ、ｅｆ和ｇｈ在原正方體中相互異面的有對。
解：將展開圖中的面ｅｆｍ恢復為原正方體的下底面；面ｇｈｅ恢復為原正方體的左側面；面ｃｄａ為體的上底面（此時點ｃ與點ｇ重合），面ａｂｄ為體的後面（與ｅｇｍ面相對），此時ｂ與ｆ重合，剩下乙個為體的右側面，如圖二所示，顯然，ａｂ與ｃｄ異面，ｅｆ與ｇｈ異面，ａｂ與ｇｈ異面，共計３對。
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