第十六章幾何證明選講
高考導航
考試要求重難點擊命題展望
1.了解平行線截割定理.
2.會證明並應用直角三角形射影定理.
3.會證明並應用圓周角定理，圓的切線的判定定理及性質定理，並會運用它們進行計算與證明.
4.會證明並應用相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理，並會運用它們進行幾何計算與證明.
5.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關係了解平行投影;會證明平面與圓柱面的截線是橢圓(特殊情形是圓).
6.了解下面的定理.
定理：在空間中，取直線l為軸，直線l與l相交於點o，其夾角為，l圍繞l旋轉得到以o為頂點，l為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l的交角為與l平行，記=0)，則：
①，平面與圓錐的交線為橢圓;
②=，平面與圓錐的交線為拋物線;
③，平面與圓錐的交線為雙曲線.
7.會利用丹迪林(dandelin)雙球(如圖所示，這兩個球位於圓錐的內部，乙個位於平面的上方，乙個位於平面的下方，並且與平面及圓錐面均相切，其切點分別為f，e)證明上述定理①的情形：
當時，平面與圓錐的交線為橢圓.
(圖中，上、下兩球與圓錐面相切的切點分別為點b和點c，線段bc與平面相交於點a)
8.會證明以下結果：
①在7.中，乙個丹迪林球與圓錐面的交線為乙個圓，並與圓錐的底面平行.記這個圓所在的平面為.
②如果平面與平面的交線為m，在6.①中橢圓上任取點a，該丹迪林球與平面的切點為f，則點a到點f的距離與點 a到直線m的距離比是小於1的常數e(稱點f為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數e為離心率).
9.了解定理6.③中的證明，了解當無限接近時，平面的極限結果. 本章重點：相似三角形的判定與性質，與圓有關的若干定理及其運用，並將其運用到立體幾何中.
本章難點：對平面截圓柱、圓錐所得的曲線為圓、橢圓、雙曲線、拋物線的證明途徑與方法，它是解立體幾何、平面幾何知識的綜合運用，應較好地把握.
本專題強調利用演繹推理證明結論，通過推理證明進一步發展學生的邏輯推理能力，進一步提高空間想象能力、幾何直觀能力和綜合運用幾何方法解決問題的能力.
第一講與第二講是傳統內容，高考中主要考查平行線截割定理、直角三角形射影定理以及與圓有關的性質和判定，考查邏輯推理能力.第三講內容是新增內容，在新課程高考下，要求很低，只作了解.
知識網路
16.1 相似三角形的判定及有關性質
典例精析
題型一相似三角形的判定與性質
【例1】 如圖，已知在△abc中，d是bc邊的中點，且ad=ac，debc，de與ab相交於點e，ec與ad相交於點f.
(1)求證：△abc∽△fcd;
(2)若s△fcd=5，bc=10，求de的長.
【解析】(1)因為debc，d是bc的中點，所以eb=ec，所以1.
又因為ad=ac，所以acb.所以△abc∽△fcd.
(2)過點a作ambc，垂足為點m.因為△abc∽△fcd，bc=2cd，所以s△abcs△fcd=(bccd)2=4，又因為s△fcd=5，所以s△abc=20.因為s△abc=12bcam，bc=10，所以20=1210am，所以am=4.
又因為de∥am，所以deam=bdbm，因為dm=12dc=52，bm=bd+dm，bd=12bc=5，所以de4=55+52，所以de=83.
【變式訓練1】如右圖，在△abc中，ab=14 cm，adbd=59，de∥bc，cdab，cd=12 cm.求△ade的面積和周長.
【解析】由ab=14 cm，cd=12 cm，cdab，得s△abc=84 cm2.
再由de∥bc可得△abc∽△ade.由s△ades△abc=(adab)2可求得s△ade=757 c m2.利用勾股定理求出bc，ac，再由相似三角形性質可得△ade的周長為15 cm.
題型二探求幾何結論
【例2】如圖，在梯形abcd中，點e，f分別在ab，cd上，ef∥ad，假設ef做上下平行移動.
(1)若aeeb=12，求證：3ef=bc+2ad;
(2)若aeeb=23，試判斷ef與bc，ad之間的關係，並說明理由;
(3)請你**一般結論，即若aeeb=mn，那麼你可以得到什麼結論?
【解析】 過點a作ah∥cd分別交ef，bc於點g、h.
(1)因為aeeb=12，所以aeab=13，
又eg∥bh，所以egbh=aeab=13，即3eg=bh，
又eg+gf=eg+ad=ef，從而ef=13(bc-hc)+ad，
所以ef=13bc+23ad，即3ef=bc+2ad.
(2)ef與bc，ad的關係式為5ef=2bc+3ad，理由和(1)類似.
(3)因為aeeb=mn，所以aeab=mm+n，
又eg∥bh，所以egbh=aeab，即eg=mm+nbh.
ef=eg+gf=eg+ad=mm+n(bc-ad)+ad，
所以ef=mm+nbc+nm+nad，
即(m+n)ef=mbc+nad.
【點撥】 在相似三角形中，平行輔助線是常作的輔助線之一;探求幾何結論可按特殊到一般的思路去獲取，但結論證明應從特殊情況得到啟迪.
【變式訓練2】如右圖，正方形abcd的邊長為1，p是cd邊上中點，點q**段bc上，設bq=k，是否存在這樣的實數k，使得以q，c，p為頂點的三角形與△adp相似?若存在，求出k的值;若不存在，請說明理由.
【解析】設存在滿足條件的實數k，
則在正方形abcd中，c=90，
由rt△adp∽rt△qcp或rt△adp∽rt△pcq得adqc=dpcp或adpc=dpcq，
由此解得cq=1或cq=14.
從而k=0或k=34.
題型三解決線的位置或數量關係
【例3】(2009江蘇)如圖，在四邊形abcd中，△abc △bad，求證：ab∥cd.
【證明】 由△abc≌△bad得acb=bda，所以a、b、c、d四點共圓，
所以cab=cdb.
再由△abc≌△bad得cab=dba，
所以dba=cdb，即ab∥cd.
【變式訓練3】如圖，aa1與bb1相交於點o，ab∥a1b1且ab=12a1b1，△aob的外接圓的直徑為1，則△a1ob1的外接圓的直徑為 .
【解析】因為ab∥a1b1且ab=12a1b1，所以△aob∽△a1ob1
因為兩三角形外接圓的直徑之比等於相似比.
所以△a1ob1的外接圓直徑為2.
總結提高
1.相似三角形的判定與性質這一內容是平面幾何知識的重要組成部分，是解題的工具，同時它的內容滲透了等價轉化、從一般到特殊、分類討論等重要的數學思想與方法，在學習時應以它們為指導.相似三角形的證法有：
定義法、平行法、判定定理法以及直角三角形的hl法.
相似三角形的性質主要有對應線的比值相等(邊長、高線、中線、周長、內切圓半徑等)，對應角相等，面積的比等於相似比的平方.
2.平行出相似平行成比例，故此章中平行輔助線是常作的輔助線之一，遇到困難時應常考慮此類輔助線.
16.2 直線與圓的位置關係和圓錐曲線的性質
典例精析
題型一切線的判定和性質的運用
【例1】如圖，ab是⊙o的直徑，ac是弦，bac的平分線ad交⊙o於點d，deac，交ac的延長線於點e，oe交ad於點f.
(1)求證：de是⊙o的切線;
(2) 若acab=25，求afdf的值.
【解析】(1)證明：連線od，可得oda=oad=dac，
所以od∥ae，又aede，所以deod，
又od為半徑，所以de是⊙o的切線.
(2)過d作dhab於h，則有doh=cab，
ohod=cosdoh=coscab=acab=25，
設od=5x，則ab=10x，oh=2x，所以ah=7x.
由△aed≌△ahd可得ae=ah=7x，
又由△aef∽△dof可得af∶df=ae∶od=75，
所以afdf=75.
【變式訓練1】已知在直角三角形abc中，acb=90，以bc為直徑的⊙o交ab於點d，連線do並延長交ac的延長線於點e，⊙o的切線df交ac於點f.
(1)求證：af=cf;
(2)若ed=4，sine=35，求ce的長.
【解析】(1)方法一：設線段fd延長線上一點g，則gdb=adf，且gdb+bdo=2，所以adf+bdo=2，又因為在⊙o中od=ob，bdo=obd，所以adf+obd=2.
在rt△abc中，cba=2，所以adf，所以af=fd.
又在rt△abc中，直角邊bc為⊙o的直徑，所以ac為⊙o的切線，
又fd為⊙o的切線，所以fd=cf.
所以af=cf.
方法二：在直角三角形abc中，直角邊bc為⊙o的直徑，所以ac為⊙o的切線，
又fd為⊙o的切線，所以fd=cf，且fdc=fcd.
又由bc為⊙o的直徑可知，adf+fdc=2，fcd=2，
所以adf=a，所以fd=af.
所以af=cf.
(2)因為在直角三角形fed中，ed=4，sine=35，所以cose=45，所以fe=5.
又fd=3=fc，所以ce=2.
題型二圓中有關定理的綜合應用
【例2】如圖所示，已知⊙o1與⊙o2相交於a、b兩點，過點a作⊙o 1的切線交⊙o2於點c，過點b作兩圓的割線，分別交⊙o1、⊙o2於點d、e，de與ac相交於點p.
( 1)求證：ad∥ec;
( 2)若ad是⊙o2的切線，且pa=6，pc=2，bd=9，求ad的長.
【解析】(1)連線ab，因為ac是⊙o1的切線，所以bac=d，
又因為bac=e，所以e，所以ad∥ec.
(2)方法一：因為pa是⊙o1的切線，pd是⊙o1的割線，
所以pa2=pbpd，所以62=pb(pb+9)，所以pb=3.
在⊙o2 中，由相交弦定理得papc=bppe，所以pe=4.
因為ad是⊙o2的切線，de是⊙o2的割線，
所以ad2=dbde=916，所以ad=12.
方法二：設bp=x， pe=y.
因為pa=6，pc=2，所以由相交弦定理得papc=bppe，即xy=12.①
因為ad∥ec，所以***e=appc，所以9+xy=62.②
高三理科數學一輪總複習 幾何證明選講
幾何證明選講 16.1 相似三角形的判定及有關性質 典例精析 題型一相似三角形的判定與性質 例1 如圖，已知在 abc中，d是bc邊的中點，且ad ac，de bc，de與ab相交於點e，ec與ad相交於點f.1 求證 abc fcd 2 若s fcd 5，bc 10，求de的長.解析 1 因為de...
高三理科數學立體幾何複習 含答案
空間簡單幾何體 一.技能要求 1.了解柱 錐 臺 球的定義 結構特徵 性質及它們之間的關係.直稜柱 側稜與底面垂直的稜柱.正稜柱 底面是正多邊形的直稜柱.正稜錐 底面是正多邊形,稜錐的頂點在底面的射影是正多邊形的中心,各側面是全等的等腰三角形.2.能畫出簡單空間圖形 長方體 球 圓柱 圓錐 稜柱等的...
高三理科立體幾何垂直證明練習
1.如圖，和所在平面互相垂直，且，e f分別為ac dc的中點.1 求證 2 求二面角的正弦值.證明 方法一 過e作eo bc，垂足為o，連of，由 abc dbc可證出 eoc foc，所以 eoc foc 即fo bc，又eo bc，因此bc 面efo，又ef面efo，所以ef bc.方法二 由...