綜合應用及證明
前言 在歷年的試卷中除去前面十二題選擇和填空題以及八題計算題，一般都有四題比較綜合的解答題和證明題，分值一共是38分。這些題的正確解答與否將直接關係到高數能否取得高分。從試卷的計算量上來看，這部分題目的計算量其實都不大，關鍵是對基礎知識的綜合運用能力的考查。
經過分析，我們不難發現這四道題中還是有比較固定的格式，起碼我們可以知道有三類題是歷年來必考的。第一類是對導數應用的考查（極值、最值及凸凹等），第二類是定積分應用的考查（圍成的面積及旋轉體的體積），第三類是不等式證明。除了上述三類，一般還會有題證明題，多是等式證明（積分等式證明或二重積分等式證明），當然也可能是一道綜合性更強的題目，全面考查對微積分中函式連續、可導、積分以及微分方程等相關知識的彼此間的聯絡。
對於固定格式型別的題目我們必須做到熟練掌握解題方法和步驟，剩下的型別只能依靠同學們在平時學習中積累的經驗和技巧，其實做到這點並不難，歸根溯源，只要我們對基本概念深刻理解和掌握，無論題目怎麼變化都可以應付自如。下面我們將這部分內容大致分為六個方面逐一深入討論。
一、導數的應用
導數的應用可以大體上分為三種題目，第一種是以求函式的極值（凸凹區間及拐點）為主要目的的解答題；第二種是實際問題求最值，也就是我們通常意義上的「應用題」，一般都需要設未知數，建立目標函式，但是這種題只是在05年之前出現過，近幾年沒有出現；第三種是結合其它型別的題目，如定積分的應用等等，一般是在題目**現待定引數，為了達到某種量（距離、長度、面積以及體積等等）最大或最小。另外利用導數的幾何意義（切線的斜率）也是可能出現的。當然，導數的應用也可以出現在選擇題或填空題中，僅單獨考查某個函式的單調區間、極大值或極小值、凸凹區間、拐點以及漸近線等等。
求函式的單調區間及極值問題是同學們在高中就學過的內容，函式的凸凹及拐點只是借助了二階導數資訊，對這些基本方法的掌握留給同門們自己複習，我們下面提幾點解題時的注意事項和技巧。
1. 以求函式的極值（凸凹區間及拐點）為主要目的的解答題
定義域，單調區間，不可導點，列表，第一充分條件，第二充分條件，凸凹及掛點最值
逆向判定反求引數問題
2. 實際問題或其它型別求最值
設未知數，建立目標函式，一階導數，駐點（只有乙個），第二充分條件，極值，單峰原理，最值
3.導數的幾何意義
導數的幾何意義我們都知道是曲線在某點處切線的斜率，即，在歷年試卷中有關曲線的切線構成的綜合題還是經常出現的。下面我們詳細討論其中不同的情形。
①求曲線在某點處的切線方程
切線首先是直線，所以我們一般採用的是直線方程的「點斜式」，即。此型別題可以分為兩小類：
第一類是已知曲線的方程，即函式解讀式，求在處的切線方程，這種最為簡單，求出導數後直接代入點斜式公式即可；
第二類是已知曲線的方程，即函式解讀式，但是並不告訴我們切點，而是告訴我們切線通過其它的點，當然該點不在曲線上，然後要求我們求出切線的方程。
對於第二類顯然並第一類要複雜一些，採用的方法一般有兩種，一種是假設切點座標就是，這裡我們要把它們看成是常數，得到切線的斜率為，然後再利用求導得到，這兩個是同乙個，所以有，解這個關於的方程就可以得出具體的的值了，接下來就回到了第一類的那種情形，便可以求出切線的方程了。另外一種方法是假設切線的斜率為，已知點雖然不在曲線上，但是也是切線上的點，從而可以利用點斜式求出切線方程，當然此時是待定的引數，然後我們再利用曲線和切線只有乙個交點這一特性，把切線方程和曲線方程聯合成乙個方程組，於是這個方程組的解一定是唯一的，把其中乙個方程代入到另乙個方程中，利用求出引數即可。相比較而言，雖然第二種方法比較簡單，求出後直接就能寫出切線的方程，也容易掌握，但是這種方法還是具有很大的侷限性的，畢竟只有一元二次方程才具有所謂的「」，因此第一種方法是比較常規的方法。
②結合切線做其它相關的運算
比如截距，與其它曲線圍成的封閉圖形的面積或旋轉體體積，或是給出任意點處切線的斜率，從而建立微分方程求解
③分清常量和變數
很多時候我們需要設一些未知數來求解為題，但是雖然是未知的，在建立有關的等式中，又要把他們看作是已知的，這一點要區別開來。
4.歷年試卷講解
(2023年)21、過作拋物線的切線，求（1）切線方程；（2）由拋物線、切線、以及軸所圍平面圖形的面積；（3）該平面分別繞軸、軸旋轉一周的體積。
解：（1）；（2）；（3），
(2023年)24、一租賃公司有40套裝置要出租。當租金每月每套200元時，該裝置可以全部租出；當租金每月每套增加10元時，租出的裝置就會減少1套；而對於租出的裝置，每月需要花20元的維持費。問租金定位多少時，該公司可獲最大利潤？
解：設每月每套租金為，則租出裝置的總數為，每月的毛收入為：
，維護成本為：.於是利潤為：
比較、、處的利潤值，可得，
故租金為元時利潤最大.
(2023年)24、從原點作拋物線的兩條切線，由這兩條切線與拋物線所圍成的圖形記為s。求（1）s的面積；（2）圖形s繞軸旋轉一周所得的立體體積。
(2023年)26、已知某廠生產件產品的成本為（元），產品產量與**之間的關係為：（元），求：（1）要使平均成本最小，應生產多少件產品？
（2）要企業生產多少件產品時，企業可獲最大利潤，並求最大利潤。（本題滿分8分）
（1）設生產件產品時，平均成本最小，則平均成本
， （件）
（2）設生產件產品時，企業可獲最大利潤，則最大利潤
，. 此時利潤（元）.
(2023年)21、拋物線
（1）拋物線上哪一點處切線平行於軸？寫出切線方程。
（2）求拋物線與水平切線及軸所圍平面圖形的面積。
（3）求該平面圖形繞軸旋轉所成的旋轉體的體積。（9分）
解：（i）切線方程：； （ii）
（iii）
(2023年)23、設計乙個容積為立方m的有蓋圓柱形貯油桶。已知單位面積造價：側面是底面一半，蓋又是側面的一半，問貯油桶的尺寸如何設計，造價最低？（8分）
解：設圓柱形底面半徑為，高位，側面單位面積造價為，則有
由（1）得代入（2）得：
令，得：；此時圓柱高.
所以當圓柱底面半徑，高為時造價最低.
(2023年)23、甲乙二城位於一直線形河流的同一側，甲城位於岸邊，乙城離河岸40公里，乙城在河岸的垂足與甲城相距50公里，兩城計畫在河岸上合資共建乙個汙水處理廠，已知從汙水處理廠到甲乙二城鋪設排汙管的費用分別為每公里500元和700元。問汙水處理廠建在何處，才能使鋪設排汙管的費用最省？
解：設汙水廠建在河岸離甲城公里處，則
，，解得（公里），唯一駐點，即為所求.
(2023年)22、設函式的圖形上有一拐點p（2，4），在拐點p處曲線的切線斜率為－3，又知該函式的二階導數求此函式。
解：設所求函式為，則有，，.
由，得，即.
因為，故，由，解得.
故，由，解得.
所求函式為：.
(2023年)22、已知曲線過原點且在點（x,y）處的切線斜率等於2x+y，求此曲線方程。
解：，通解為，由得，故.
(2023年)22、設函式具有如下性質：
（1）在點的左側臨近單調減少；
（2）在點的右側臨近單調增加；
（3）其圖形在點的兩側凹凸性發生改變。
試確定常數的值
解：，.
由題意得、、，解得、、
(2023年)21、求曲線的切線，使其在兩座標軸上的截距之和最小，並求此最小值。
解：4(2023年)21、
解：（1）函式的定義域為，，令得，函式的單調增區間為，單調減區間為，極大值為，極小值為.
（2），令，得，曲線在上是凸的，在上是凹的，點為拐點.
（3）由於，，，故函式在閉區間上的最大值為，最小值為.
二、定積分的應用
畫圖，記公式
三、方程根的討論
1.零點定理（至少有乙個根）
2.零點定理+函式單調（有且僅有乙個根）
3.極值（作圖分析，多針對於沒有指定區間的題目）
原理:函式連續性、極值的正負性、函式趨向於無窮大時的極限，步驟
4.羅爾定理（間接證明）構造
5.連續使用零點定理（證明存在兩個以上的根，可以使用極值法）
次方程最多n個根
7.注意不管是零點定理還是羅爾定理都是是取不到端點的，即，對於端點要單獨討論（提高班，p29頁22題）
（2023年）22、證明：在內有且僅有乙個實根。
（2023年）21、證明方程在[-1,1]上有且僅有乙個實根。
（2023年）23、設函式在閉區間[0，2]（）上連續，且，證明：在開區間上至少存在一點，使得
四、不等式證明
1.函式單調性（要求函式具有很強的單調性，且易於求導）
原理：①有限區間
使用一次：
；；；使用多次：
②無限區間或，以為例使用一次單調性原理
； ；③無窮區間或存在乙個無意義的點
分區間討論
2.最值（最具一般性的方法，不要求函式具有單調性，只需要求一階導數）
3.微分中值定理（含有增量形式的不等式）
4.積分不等式（利用定積分的性質或積分中值定理）
5.技巧（劃分區間討論、改變不等式形式）
（2023年）23、設函式在上具有嚴格單調遞減的導數，在處右連續且，試證：對於滿足不等式的，恒有下式成立：。
證明：由拉格朗日定理知：
，由於在上嚴格單調遞減，知，因，故
.（2023年）25、證明：當時，成立。
（2023年）21、證明：當時，。
（2023年）24、求證：當時，
（2023年）24、對任意實數，證明不等式：
（2023年）24、證明：
（2023年）21、證明：當時，
五、等式證明
1.定積分（換元法，觀察積分上下限的構成）
觀察積分的上下限，找出其中的增量，理由積分區間可加性分成兩個定積分；
對其中的某個整體部分進行換元，從而改變定積分的上下限為所要證明的定積分的上下限；
利用誘導公式將被積函式變形
2.交換二次積分次序
3.其它
（2023年）21、證明：，並利用此等式求
（2023年）23、設，證明：
例3.，並計算的值。
證明：因為
所以要證明
即證明令，則；當時，；當時，
則由於定積分與積分符號無關，所以
即原命題成立
利用命題結論有
六、綜合題的構成分析
除去我們熟悉的固定型別的綜合應用及證明題，一道普通的綜合題是怎麼構成的呢？它又是如何依據高等數學中的各部分知識進行混合編排的呢？這是我們需要思考的問題。
在這裡只給同學們起個頭，針對於歷年試卷，希望可以起到拋磚引玉的作用，讓大家對一些綜合題的考查做到不再望而生畏。
2023年二建管理衝刺班講義 建工
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