2023年普通高等學校招生全國統一考試（四川卷）
數學（文史類）
參考公式：
如果事件互斥，那麼球的表面積公式
如果事件a、b相互獨立，那麼其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率是，那麼
在次獨立重複試驗中事件恰好發生次的概率其中表示球的半徑
第一部分 （選擇題共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5份，共60份。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、設集合，，則（ ）
abc、 d、
2、的展開式中的係數是（ ）
a、21b、28c、35d、42
3、交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社群做分層抽樣調查。假設四個社群駕駛員的總人數為，其中甲社群有駕駛員96人。若在甲、乙、丙、丁四個社群抽取駕駛員的人數分別為12,21,25,43，則這四個社群駕駛員的總人數為（ ）
a、101b、808c、1212d、2012
4、函式的圖象可能是（ ）
5、如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連線、則（ ）
abcd、
6、下列命題正確的是（ ）
a、若兩條直線和同乙個平面所成的角相等，則這兩條直線平行
b、若乙個平面內有三個點到另乙個平面的距離相等，則這兩個平面平行
c、若一條直線平行於兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行
d、若兩個平面都垂直於第三個平面，則這兩個平面平行
7、設都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ ）
a、 bcd、
8、若變數滿足約束條件，則的最大值是（ ）
a、12b、26c、28d、33
9、已知拋物線關於軸對稱，它的頂點在座標原點，並且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則（ ）
abcd、
10、如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內，過點作平面的垂線交半球面於點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，則、兩點間的球面距離為（ ）
a、 bc、 d、
11、方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）
a、28條b、32條c、36條d、48條
12、設函式，是公差不為0的等差數列，，則（ ）
a、0b、7c、14d、21
第二部分 （非選擇題共90分）
二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分）
13、函式的定義域是用區間表示）
14、如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的大小是
15、橢圓為定值，且的左焦點為，直線與橢圓相交於點、，的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______。
16、設為正實數，現有下列命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若，則。
其中的真命題有寫出所有真命題的編號）
三、解答題：本大題共6個小題，共74分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。
17、(本小題滿分12分)
某居民小區有兩個相互獨立的安全防範系統（簡稱系統）和，系統和系統在任意時刻發生故障的概率分別為和。
（ⅰ）若在任意時刻至少有乙個系統不發生故障的概率為，求的值；
（ⅱ）求系統在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數大於發生故障的次數的概率。
18、(本小題滿分12分)
已知函式。
（ⅰ）求函式的最小正週期和值域；
（ⅱ）若，求的值。
19、(本小題滿分12分)
如圖，在三稜錐中，，，，點在平面內的射影在上。
（ⅰ）求直線與平面所成的角的大小；
（ⅱ）求二面角的大小。
20、(本小題滿分12分)
已知數列的前項和為，常數，且對一切正整數都成立。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，。當為何值時，數列的前項和最大？
21、(本小題滿分12分)
如圖，動點與兩定點、構成，且直線的斜率之積為4，設動點的軌跡為。
（ⅰ）求軌跡的方程；
（ⅱ）設直線與軸交於點，與軌跡相交於點，且，求的取值範圍。
22、(本小題滿分14分)
已知為正實數，為自然數，拋物線與軸正半軸相交於點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。
（ⅰ）用和表示；
（ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；
（ⅲ）當時，比較與的大小，並說明理由。
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