《整式及整式的加減》
經典例題透析
型別一：用字母表示數量關係
1．填空題：
(1)香蕉每千克售價3元，m千克售價元。
(2)溫度由5℃上公升t℃後是
(3)每台電腦售價x元，降價10％後每台售價為元。
(4)某人完成一項工程需要a天，此人的工作效率為
思路點撥：用字母表示數量關係，關鍵是理解題意，抓住關鍵詞句，再用適當的式子表達出來。
舉一反三：
[變式] 某校學生給「希望小學」郵寄每冊元的圖書240冊，若每冊圖書的郵費為書價的5％，則共需郵費元。型別二：整式的概念
2．指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。
(1)x＋1；(2)a＝2；(3)π；(4)s＝πr2；(5)；(6)
總結昇華：判斷是不是整式，關鍵是了解整式的概念，注意整式與等式、不等式的區別，等式含有等號，不等式含有不等號，而整式不能含有這些符號。
舉一反三：
[變式]把下列式子按單項式、多項式、整式進行歸類。
x2y， a－b， x＋y2－5， ， －29， 2ax＋9b－5， 600xz， axy， xyz－1， 。
分析：本題的實質就是識別單項式、多項式和整式。單項式中數和字母、字母和字母之間必須是相乘的關係，多項式必須是幾個單項式的和的形式。
答案：單項式有：x2y，－，－29,600xz，axy
多項式有：a－b，x＋y2－5,2ax＋9b－5，xyz－1
整式有：x2y，a－b，x＋y2－5，－，－29，2ax＋9b－5,600xz，axy，xyz－1。
型別三：同類項
3．若與是同類項，那麼a,b的值分別是（ ）
（a）a=2, b=－1。 （b）a=2, b=1。
（c）a=－2, b=－1。 （d）a=－2, b=1。
思路點撥:解決此類問題的關鍵是明確同類項定義，即字母相同且相同字母的指數相同，要注意同類項與係數的大小沒有關係。
解析：由同類項的定義可得：a－1=－b,且 2a+b=3，
解得 a=2, b=－1，
故選a。
舉一反三：
[變式]在下面的語句中，正確的有( )
①－a2b3與a3b2是同類項； ②x2yz與－zx2y是同類項； ③－1與是同類項；
④字母相同的項是同類項。
a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
解析：①中－a2b3與a3b2所含的字母都是a，b，但a的次數分別是2,3，b的次數分別是3,2，所以它們不是同類項；②中所含字母相同，並且相同字母的指數也相同，所以x2yz與－zx2y是同類項；不含字母的項(常數項)都是同類項，③正確，根據①可知④不正確。故選b。
型別四：整式的加減
4．化簡m－n－（m+n）的結果是（ ）
（a）0。 （b）2m。
（c）－2n。 （d）2m－2n。
思路點撥：按去括號的法則進行計算，括號前面是「－」號，把括號和它前面的「－」號去掉，括號裡各項都改變符號。
解析： 原式=m－n－m－n=－2n，故選（c）。
舉一反三：
[變式] 計算：2xy+3xy
分析：按合併同類項的法則進行計算，把係數相加所得的結果作為係數，字母和字母的指數不變。注意不要出現5x2y2的錯誤。
答案：5xy。
5．（化簡代入求值法）已知x＝－，y＝－,求代數式(5x2y－2xy2－3xy)－(2xy＋5x2y－2xy2)
思路點撥：此題直接把x、y的值代入比較麻煩，應先化簡再代入求值。
解析：原式＝5x2y－2xy2－3xy－2xy－5x2y＋2xy2＝－5xy
當x＝－，y＝－時，原式＝－5×。
總結昇華：求代數式的值的第一步是「代入」，即用數值替代整式裡的字母；第二步是「求值」，即按照整式中指明的運算，計算出結果。應注意的問題是：
當整式中有同類項時，應先合併同類項化簡原式，再代入求值。
舉一反三：
[變式1] 當x＝0，x＝，x＝-2時，分別求代數式的2x2－x＋1的值。
解：當x＝0時，2x2－x＋1＝2×02－0＋1＝1；
當x＝時，2x2－x＋1＝2×；
當x＝-2時，2x2－x＋1＝2×（-2）2－（-2）＋1＝2×4+2＋1＝11。
總結昇華：乙個整式的值，是由整式中的字母所取的值確定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；當整式中沒有同類項時，直接代入計算，原式中的係數、指數及運算符號都不改變。但應注意，當字母的取值是分數或負數時，代入時，應將分數或負數添上括號。
[變式2] 先化簡，再求值。
3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)，其中x＝，y＝－1。
解： 3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)＝(6x2y－9xy2)－xy2＋3x2y
＝6x2y－9xy2－xy2＋3x2y＝9x2y－10xy2。
∴當x＝，y＝－1時，原式＝9××(－1)－10××(－1)2＝－。
總結昇華：解題的基本規律是先把原式化簡為9x2y－10xy2，再代入求值，化簡降低了運算難度，使計算更加簡便，體現了化繁為簡，化難為易的轉化思想。
[變式3] 求下列各式的值。
(1)(2x2－x－1)－，其中x＝
(2)2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)，其中m＋n＝2，mn＝－3。
解析：(1) (2x2－x－1)－
＝2x2－x－1－x2＋x＋＋3x2－3＝4x2－4
當x＝時，原式＝4×－4＝9－4＝5。
(2) 2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)
＝2mn－6m－6n＋3mn
＝5mn－6(m＋n)
當m＋n＝2，mn＝－3時
原式＝5×(－3)－6×2＝－27。
型別五：整體思想的應用
6．已知x2＋x＋3的值為7，求2x2＋2x－3的值。
思路點撥：該題解答的技巧在於先求x2＋x的值，再整體代入求解，體現了數學中的整體思想。
解析：由題意得x2＋x＋3＝7，所以x2＋x＝4，所以2(x2＋x)＝8，即2x2＋2x＝8，所以2x2＋2x－3＝8－3＝5。
總結昇華：整體思想就是在考慮問題時，不著眼於它的區域性特徵，而是將具有共同特徵的某一項或某一類看成乙個整體的數學思想方法。運用這種方法應從巨集觀上進行分析，抓住問題的整體結構和本質特徵，全面關注條件和結論，加以研究、解決，使問題簡單化。
在中考中該思想方法比較常見，尤其在化簡題中經常用到。
舉一反三：
[變式1] 已知x2＋x－1＝0，求代數式x3＋2x2－7的值。
分析：此題由已知條件無法求出x的值，故考慮整體代入。
解析：∵x2＋x－1＝0，∴x2＝1－x，
∴x3＋2x2－7＝x(1－x)＋2(1－x)－7＝x－x2＋2－2x－7
＝-x2-x-5＝（-x2-x+1）-6 =－6。
[變式2] 當x＝1時，代數式px3＋qx＋1的值為2003，則當x＝－1時，代數式px3＋qx＋1的值為( )
a、－2001 b、－2002 c、－2003 d、2001
分析：這是一道求值的選擇題，顯然p，q的值都不知道，仔細觀察題目，不難發現所求的值與已知值之間的關係。
解析：當x＝1時，px3＋qx＋1＝p＋q＋1＝2003，而當x＝－1時，px3＋qx＋1＝－p－q＋1，可以把p＋q看做乙個整體，由p＋q＋1＝2003得p＋q＝2002，於是－p－q＝－(p＋q)＝－2002，所以原式＝－2002＋1＝－2001。故選a。
[變式3] 已知a＝3x3－2x＋1，b＝3x2－2x＋1，c＝2x2＋1，則下列代數式中化簡結果為3x3－7x2－2的是( )
a、a＋b＋2c b、a＋b－2c c、a－b－2c d、a－b＋2c
分析：將a，b，c的式子分別代入a，b，c，d四個選項中檢驗，如：a－b－2c＝3x3－2x＋1－(3x2－2x＋1)－2(2x2＋1)＝3x3－2x＋1－3x2＋2x－1－4x2－2＝3x3－7x2－2。
故選c。
答案：c
[變式4] 化簡求值。
(1)3(a＋b－c)＋8(a－b－c)－7(a＋b－c)－4(a－b－c)，其中b＝2
(2)已知a－b＝2，求2(a－b)－a＋b＋9的值。
分析：(1)常規解法是先去括號，然後再合併同類項，但此題可將a＋b－c，a－b－c分別視為乙個「整體」，這樣化簡較為簡便；(2)若想先求出a，b的值，再代入求值，顯然行不通，應視a－b為乙個「整體」。
解析：(1)原式＝3(a＋b－c)－7(a＋b－c)＋8(a－b－c)－4(a－b－c)
4(a＋b－c)＋4(a－b－c)
4a－4b＋4c＋4a－4b－4c＝－8b。
因為b＝2，所以原式＝－8×2＝－16。
(2)原式＝2(a－b)－(a－b)＋9
a－b)＋9
因為a－b＝2，所以原式＝2＋9＝11。
型別六：綜合應用
7．已知多項式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值與x無關，試求5a2－2(a2－3a＋4)的值。
思路點撥：要使某個單項式在整個式子中不起作用，一般是使此單項式的係數為0即可.
解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。
因為原式的值與x無關，故3a－9＝0，所以a＝3。
又因為5a2－2(a2－3a＋4)＝5a2－2a2＋6a－8＝3a2＋6a－8，
所以當a＝3時，原式＝3×32＋6×3－8＝37。
總結昇華：解答此類題目一定要弄清題意，明確題目的條件和所求，當題目中的條件或所求發生了變化時，解題的方法也會有相應的變化。
舉一反三：
[變式1]當a(x≠0)為何值時，多項式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值恒等為4。
解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。
因為(3a－9)x2＋4＝4，所以(3a－9)x2＝0。又因為x≠0，故有3a－9＝0。即a＝3，
所以當a＝3時，多項式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值恆等於4。
[變式2]當a＝3時，多項式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值為多少？
解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7
＝(3a－9)x2＋4，當a＝3時，原式＝(3×3－9)x2＋4＝4。
8．已知關於x的多項式(a－1)x5＋x|b＋2|－2x＋b是二次三項式，則a＝____，b＝____。
分析：由題意可知a－1＝0，即a＝1，|b＋2|＝2，即b＝－4或0，但當b＝0時，不符合題意，所以b＝－4。
答案：1，－4
舉一反三：
[變式]若關於的多項式：，化簡後是四次三項式，求m，n的值
答案：m=5，n=-1
第二章 整式的加減
一 填空題 每題2分，共24分 1 單項式減去單項式的結果為 2 當時，代數式 3 寫出乙個關於x的二次三項式，使得它的二次項係數為 5，則這個二次三項式為 4 已知 則代數式的值是 5 張大伯從報社以每份0.4元的 購進了份報紙，以每份0.5元的 售出了份報紙，剩餘的以每份0.2元的 退回報社，則...
第二章整式的加減複習
一 本章基本概念 1 和 統稱整式。單項式 由與的乘積式子稱為單項式。單獨乙個數或乙個字母也是單項式，如a 5。單項式的係數 單式項裡的叫做單項式的係數。單項式的次數 單項式中叫做單項式的次數。多項式 幾個的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的 不含字母的項叫做 多項式的次數 多項式裡的次數，...
第二章整式的加減章末測試
一 選擇題 每小題3分，共30分 1.在代數式中，整式有 a.3個 b.4個 c.5個 d.6個 2.單項式的係數和次數分別是 a.5 b.1，6 c.3 6 d.3，7 3.下面計算正確的是 ab cd 4.多項式的各項分別是 a.b.c.d.5.乙個多項式與 2 1的和是3 2，則這個多項式為 ...