數學10-03班
王玉剛10104477
吳曦10104478
徐曉10104479
1、題目。
現要舉行一場山地自行車賽，為了了解環行賽道的路況，現對一選手比賽情況進行監測，該選手從a地出發向東到b，再經c、d回到a地（如下圖）。現從選手出發開始計時，每隔15min觀測其位置，所得相應各點座標如下表（假設其體力是均衡分配的）：
由a→b各點的位置座標（單位：km）
由d→c→b各點的位置座標（單位：km）
假設：1. 車道幾乎是在平原上，但有三種路況（根據平均速度v(km/h)大致區分）：
平整沙土路（v>30）、坑窪碎石路（102. 車道是一條連續的可以用光滑曲線來近似的閉合路線；
3．選手的速度是連續變化的.
求解：1. 模擬比賽車道的曲線和選手的速度曲線；
2．估計車道的長度和所圍區域的面積；
3．分析車道上相關路段的路面狀況（在車道上用不同顏色標記出來）；
4．對參加比賽選手提出合理建議.
二、問題分析以及求解。
1.賽道：根據圖可知直接求解出y=f(x)比較困難，故可採用引數函式的形式。這裡使用了插值法以及多項式擬合法。
（1）多項式擬合：
程式：x=[0.3,4.
56,6.45,9.71,13.
17,16.23,18.36,20.
53,23.15,26.49,28.
23,29.1,30.65,30.
92,31.67,33.03,34.
35,35.01,37.5];
y=[6.56,5.28,4.
68,5.19,2.34,6.
94,5.55,9.86,5.
28,3.87,3.04,2.
88,3.68,2.38,2.
06,2.58,2.16,1.
45,6];
[a,s]=polyfit(x,y,9);
xx=0:0.001:38.1;
yy=polyval(a,xx);
plot(x,y,'o:m',xx,yy,』linewidth』,2)
hold on;
x=[0.3,1.8,4.
90,6.51,9.73,13.
18,16.20,18.92,20.
50,23.23,25.56,28.
31,29.45,30.00,30.
92,31.67,33.31,34.
23,35.81,37.5];
y=[6.56,19.89,24.
52,34.82,40.54,37.
67,41.38,30.00,19.
68,14.56,18.86,18.
55,22.66,18.28,15.
06,13.42,11.86,7.
68,9.45,6];
[a,s]=polyfit(x,y,11);
xx=0:0.001:38.1;
yy=polyval(a,xx);
plot(x,y,'o:m',xx,yy,』linewidth』,2)
圖象：（2）插值法：
程式：x=[0.3,4.
56,6.45,9.71,13.
17,16.23,18.36,20.
53,23.15,26.49,28.
23,29.1,30.65,30.
92,31.67,33.03,34.
35,35.01,37.5,35.
81,34.23,33.31,31.
67,30.92,29.65,29.
8,28.31,26.56,23.
23,20.50,18.32,16.
20,13.18,9.73,6.
51,4.90,1.8,0.
3];y=[6.56,5.28,4.
68,5.19,2.34,6.
94,5.55,9.86,5.
28,3.87,3.04,2.
88,3.68,2.38,2.
06,2.58,2.16,1.
45,6,9.45,7.68,11.
86,12.42,14.06,17.
28,20.66,17.55,19.
86,14.56,18.68,35.
24,42.38,38.67,41.
54,35.82,24.52,19.
89,6.56];
t=0:0.25:9.25;
tt=0:0.01:9.25;
xx=spline(t,x,tt);
yy=spline(t,y,tt);
plot(x,y,'--ms',xx,yy,'k','linewidth',1,'markeredgecolor','k','marke***cecolor','g')
影象：由以上兩種方法的對比可以看出，插值法的效果明顯好於多項式擬合。
2.速度曲線，賽道長度。
根據相鄰兩點求出直線斜率，及該段內的平均速度，利用自動插值可求出速度變化曲線。
x=[0.00,0.00,0.
3,4.56,6.45,9.
71,13.17,16.23,18.
36,20.53,23.15,26.
49,28.23,29.1,30.
65,30.92,31.67,33.
03,34.35,35.01,37.
5,35.81,34.23,33.
31,31.67,30.92,29.
65,29.8,28.31,26.
56,23.23,20.50,18.
32,16.20,13.18,9.
73,6.51,4.90,1.
80,0.30];
y=[0.00,0.00,6.
56,5.28,4.68,5.
19,2.34,6.94,5.
55,9.86,5.28,3.
87,3.04,2.88,3.
68,2.38,2.06,2.
58,2.16,1.45,6,9.
45,7.68,11.86,12.
42,14.06,17.28,20.
66,17.55,19.86,14.
56,18.68,35.24,42.
38,38.67,41.54,35.
82,24.52,19.89,6.
56];
dx=diff(x)./0.25;
dy=diff(y)./0.25;
v=(dx.^2+dy.^2).^(1/2);
t=0:0.25:9.5;
tt=0:0.01:9.75;
vv=interp1(t,v,tt,'cubic');
plot(t,v,'*',tt,vv,'r')
l=0;
for i=1:975
l=l+vv(i)*0.01;
endl
所以，l＝180.457
3.所圍面積
x1=[0.3,4.56,6.
45,9.71,13.17,16.
23,18.36,20.53,23.
15,26.49,28.23,29.
1,30.65,30.92,31.
67,33.03,34.35,35.
01, 37.5];
x2=[0.3,4.90,6.
51,9.73,13.18,16.
20,18.32,20.50,23.
23,26.56,28.31,29.
8,29.65,30.92,31.
67,33.31,34.23,35.
81, 37.5];
y1=[6.56,5.28,4.
68,5.19,2.34,6.
94,5.55,9.86,5.
28,3.87,3.04,2.
88,3.68,2.38,2.
06,2.58,2.16,1.
45,6];
y2=[19.89,24.52,35.
82,41.54,38.67,42.
38,35.24,18.68,14.
56,19.86,17.55,20.
66,17.28,14.06,12.
42,11.86,7.68, 9.
45,6];
xx=0.2:0.1:37.5;
yy1=interp1(x1,y1,xx,'cubic');
yy2=interp1(x2,y2,xx,'cubic');
plot(xx,yy1,'r',xx,yy2,'b')
s1=trapz(xx,yy1);
s2=trapz(xx,yy2);
s=s2-s1
所以，s＝ 750.2003
4.賽道路面情況，以及對選手的建議。
方法一clear;
clc;
x1=[0.30,4.56,6.
45,9.71,13.17,16.
23,18.36,20.53,23.
15,26.49,28.23,29.
10,30.65,30.92,31.
67,33.03,34.35,35.
01,37.50];
y1=[6.56,5.28,4.
68,5.19,2.34,6.
94,5.55,9.86,5.
28,3.87,3.04,2.
88,3.68,2.38,2.
06,2.58,2.16,1.
45,6.00];
x2=[0.30,1.80,4.
90,6.51,9.73,13.
18,16.20,18.92,20.
50,23.23,25.56,28.
31,29.45,30.00,30.
92,31.67,33.31,34.
23,35.81,37.50];
y2=[6.56,19.89,24.
52,34.82,40.54,37.
67,41.38,30.00,19.
68,14.56,18.86,18.
55,22.66,18.28,15.
06,13.42,11.86,7.
68,9.45,6.00];
axis([-5 40 -5 45]);
grid;
for i=1:length(x1)-1
l=0;
t1=x1(i):0.01:x1(i+1);
d1=spline(x1,y1,t1);
for ii=1:length(d1)-1
l=l+sqrt((0.01)^2+(d1(ii+1)-d1(ii))^2);
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