1【考題再現】(本小題滿分12分)已知函式f(x)＝x2－2x，g(x)＝logax(a＞0且a≠1)，其中a
2為常數．如果h(x)＝f(x)＋g(x)在(0，＋∞)是增函式，且h′(x)存在零點(h′(x)為h(x)的導函式)．
(1)求a的值；
gn－gm
(2)設a(m，g(m))，b(n，g(n))(m＜n)是函式y＝g(x)的圖象上兩點，g′(x0)＝(g′(x)
n－m為g(x)的導函式)，證明：m＜x0＜n.
規範解答解題程式1第一步：求函式解析式
(1)解：h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－2x＋logax
2( 123)1已知某函式f(x)在某區間上
∴h′(x)＝x－2＋，x∈(0，＋∞)
xlna的單調性則應有
由h(x)在(0，＋∞)上遞增，h′(x)≥0對x∈(0，＋∞)恆成立，f′(x)≥0(或≤0)當x在這
11個單調區間上取值時恆成立，即≥x(2－x)在(0，＋∞)上恆成立，∴≥1，①lnalna從而轉化為函式的最值問題
1 (3分)來解決；若已知某方程在某個
11則常用分離引數又h′(x)存在零點，由＝x(2－x)有解，可得≤1，②區間上有解，
lnalna
法轉化成等號另一邊函式的
2 (5分)
值域問題．
1由①②得＝1，解得a＝e.第二步：證明不等式lna
( 4567)
3(6分)
根據所要證明不等式構造函
(2)證明：設φ(x)＝lnx－x＋1，x∈(1，＋∞)，4(7
數；分)
求導並判斷函式的單調性；
1－x1
φ′(x)＝－1＝＜0，∴φ(x)在(1，＋∞)上單調遞減利用函式的值域或最值證明
xx不等式；
∴φ(x)＜φ(1)＝0，
利用「同理可證」避免重複
5 (9分)
論證.n－mnn
即ln－＋1＜0，整理得m＜，
mmlnn－lnm即m＜x0;6 (10分)同理可證x0＜n.因此m＜x0＜n.7(12分)
1.利用導數知識證明不等式是導數應用的乙個重要方面，也成為高考的乙個新熱點，其關鍵是構造適當的函式，判斷區間端點函式值與0的關係，其實質就是利用求導的方法研究函式的單調性，通過單調性證明不等式．2.本題的第(1)問是已知函式單調性借助導數求解其引數的相關問題．注意解答中這句話「∵h(x)在(0，＋∞)上遞增，
方法指導
∴h′(x)≥0對x∈(0，＋∞)恆成立．」有些同學經常會把「h′(x)≥0」寫成「h′(x)>0」，造成問題無法解決．這是因為在(a，b)上函式的導函式f′(x)>0或f′(x)<0只是函式在(a，b)上為增函式或減函式的充分條件，而不是必要條件，在求解這類問題時，很多同學會將其作為充要條件使用，從而導致失誤.
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