專題恆成立存在性問題
知識點梳理
1、恆成立問題的轉化：恆成立；
2、能成立問題的轉化：能成立；
3、恰成立問題的轉化：在m上恰成立的解集為m
另一轉化方法：若在d上恰成立，等價於在d上的最小值，若在d上恰成立，則等價於在d上的最大值.
4、設函式、，對任意的，存在，使得，則
5、設函式、，對任意的，存在，使得，則
6、設函式、，存在，存在，使得，則
7、設函式、，存在，存在，使得，則
8、若不等式在區間d上恆成立，則等價於在區間d上函式和圖象在函式圖象上方；
9、若不等式在區間d上恆成立，則等價於在區間d上函式和圖象在函式圖象下方；
題型一、常見方法
1、已知函式，，其中，．
1）對任意，都有恆成立，求實數的取值範圍；
2）對任意，都有恆成立，求實數的取值範圍；
2、設函式，對任意，都有在恆成立，求實數的取值範圍．
3、已知兩函式，，對任意，存在，使得，則實數m的取值範圍為
題型二、主參換位法(已知某個引數的範圍，整理成關於這個引數的函式)
1、對於滿足的所有實數p,求使不等式恆成立的x的取值範圍。
2、已知函式是實數集上的奇函式，函式是區間上的減函式，
(ⅰ)求的值；(ⅱ)若上恆成立，求的取值範圍；
題型三、分離引數法（欲求某個引數的範圍，就把這個引數分離出來）
1、當時，不等式恆成立，則的取值範圍是 .
題型四、數形結合（恆成立問題與二次函式聯絡（零點、根的分布法））
1、若對任意,不等式恆成立，則實數的取值範圍是________
2、已知函式，在恒有，求實數的取值範圍。
題型五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法
若在區間d上存在實數使不等式成立,則等價於在區間d上；
若在區間d上存在實數使不等式成立,則等價於在區間d上的.
1、存在實數，使得不等式有解，則實數的取值範圍為______。
2、已知函式存在單調遞減區間，求的取值範圍
小結：恆成立與有解的區別
恆成立和有解是有明顯區別的，以下充要條件應細心思考，甄別差異，恰當使用，等價轉化，切不可混為一體。
①不等式對時恆成立，。即的上界小於或等於；
②不等式對時有解，。 或的下界小於或等於；
③不等式對時恆成立，。即的下界大於或等於；
④不等式對時有解，.。 或的上界大於或等於；
一、恆成立問題的基本型別
在數學問題研究中經常碰到在給定條件下某些結論恆成立的命題.
函式在給定區間上某結論成立問題,其表現形式通常有:在給定區間上某關係恆成立;某函式的定義域為全體實數r;某不等式的解為一切實數;某表示式的值恆大於a等等…
恆成立問題，涉及到一次函式、二次函式的性質、圖象,滲透著換元、化歸、數形結合、函式與方程等思想方法，有利於考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的乙個熱點。
恆成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種型別：
①一次函式型；②二次函式型；③變數分離型；④根據函式的奇偶性、週期性等性質；⑤直接根據函式的圖象。
二、恆成立問題解決的基本策略
（一）兩個基本思想解決「恆成立問題」
思路1、
思路2、
如何在區間d上求函式f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習題的實際,採取合理有效的方法進行求解,通常可以考慮利用函式的單調性、函式的影象、二次函式的配方法、三角函式的有界性、均值定理、函式求導等等方法求函式f（x）的最值。
這類問題在數學的學習涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現的試題型別，希望同學們在日常學習中注意積累。
(二)、賦值型——利用特殊值求解
等式中的恆成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.
例1．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義對映f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1
a.10b.7 c.-1d.0
略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，
故選d例2．如果函式y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關於直線x= 對稱，那麼a
a.1b.-1 cd. -.
略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選b.
此法體現了數學中從一般到特殊的轉化思想.
（三）分清基本型別，運用相關基本知識，把握基本的解題策略
1、一次函式型：
若原題可化為一次函式型,則由數形結合思想利用一次函式知識求解,十分簡捷
給定一次函式y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內恒有f(x)>0，則根據函式的圖象（直線）可得上述結論等價於
同理，若在[m,n]內恒有f(x)<0， 則有
例2．對於滿足|a|2的所有實數a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恆成立的x的取值範圍.
分析：在不等式**現了兩個字母：x及a,關鍵在於該把哪個字母看成是乙個變數，另乙個作為常數.
顯然可將a視作自變數，則上述問題即可轉化為在[-2，2]內關於a的一次函式大於0恆成立的問題.
解：原不等式轉化為(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2時恆成立,
設f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在[-2,2]上恆大於0，故有：
即解得：
∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)
此類題本質上是利用了一次函式在區間[m,n]上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.
2、二次函式型
涉及到二次函式的問題是複習的重點，同學們要加強學習、歸納、總結，提煉出一些具體的方法，在今後的解題中自覺運用。
（1）若二次函式y=ax2+bx+c(a≠0)大於0恆成立，則有
（2）若是二次函式在指定區間上的恆成立問題，可以利用韋達定理以及根的分布知識求解。
例3． 若函式的定義域為r，求實數的取值範圍.
分析：該題就轉化為被開方數在r上恆成立問題，並且注意對二次項係數的討論.
解：依題意，當
恆成立，
所以，①當
此時②當
有綜上所述，f(x)的定義域為r時，
例4.已知函式，在r上恆成立，求的取值範圍.
分析：的函式影象都在x軸及其上方，如右圖所示：
略解：變式1：若時，恆成立，求的取值範圍.
分析：要使時，恆成立，只需的最小值即可.
解：，令在上的最小值為.
⑴當，即時， 又
不存在.
⑵當，即時， 又
⑶當，即時， 又
綜上所述，.
變式2：若時，恆成立，求的取值範圍.
解法一：分析：題目中要證明在上恆成立，若把2移到等號的左邊，則把原題轉化成左邊二次函式在區間時恆大於等於0的問題.
略解：，即在上成立.
⑴⑵綜上所述，.
解法二：（運用根的分布）
⑴當，即時， 不存在.
⑵當，即時，，
⑶當，即時，，
綜上所述.
此題屬於含引數二次函式，求最值時，軸變區間定的情形，對軸與區間的位置進行分類討論；還有與其相反的，軸動區間定，方法一樣.
對於二次函式在r上恆成立問題往往採用判別式法（如例4、例5），而對於二次函式在某一區間上恆成立問題往往轉化為求函式在此區間上的最值問題
3、變數分離型
若在等式或不等式**現兩個變數，其中乙個變數的範圍已知，另乙個變數的範圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變數分別置於等號或不等號的兩邊，則可將恆成立問題轉化成函式的最值問題求解。運用不等式的相關知識不難推出如下結論：若對於x取值範圍內的任何乙個數都有f(x)>g(a)恆成立，則g(a)f(x)max.
(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)
例5.已知三個不等式①，②，③．要使同時滿足①②的所有x的值滿足③，求m的取值範圍.
略解：由①②得2要使同時滿足①②的所有x的值滿足③,
即不等式在上恆成立，
即上恆成立，
又所以例6. 函式是奇函式，且在上單調遞增，又，若對所有的都成立，求的取值範圍 .
解：據奇函式關於原點對稱，
又對所有的都成立.
因此，只需大於或等於的最大值1，
，即關於a的一次函式在[-1，1]上大於或等於0恆成立，
即： 利用變數分離解決恆成立問題，主要是要把它轉化為函式的最值問題
4、根據函式的奇偶性、週期性等性質
若函式f(x)是奇(偶)函式，則對一切定義域中的x ,f(-x)=-f(x)
(f(-x)=f(x))恆成立；
若函式y=f(x)的週期為t，則對一切定義域中的x,f(x)=f(x+t)恆成立。
5、直接根據圖象判斷
若把等式或不等式進行合理的變形後，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函式的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結果。尤其對於選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。
例7.的取值範圍.
分析：設y=|x+1|-|x-2|,即轉化為求函式y=|x+1|-|x-2|的最小值，畫出此函式的圖象即可求得a的取值範圍.
解：令在直角座標系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使只需.
故實數本題中若將改為①，同樣由圖象可得a>3;②,建構函式，畫出圖象，得a<3.
利用數形結合解決恆成立問題，應先建構函式，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區間上函式與函式圖象之間的關係，得出答案或列出條件，求出引數的範圍.
三、在恆成立問題中，主要是求引數的取值範圍問題，是一種熱點題型，介紹一些基本的解題策略，在學習中學會把問題分類、歸類，熟練基本方法。
（一）換元引參，顯露問題實質
1、對於所有實數x，不等式
恆成立，求a的取值範圍。
解：因為的值隨著引數a的變化而變化，若設，
則上述問題實質是「當t為何值時，不等式恆成立」。
這是我們較為熟悉的二次函式問題，它等價於
求解關於t的不等式組：。 解得，即有，易得。
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