2010—2014成都中考試題壓軸題分析研究
一．真題再現
1.（2010．成都）28．在平面直角座標系中，拋物線與軸交於兩點（點在點的左側），與軸交於點，點的座標為，若將經過兩點的直線沿軸向下平移3個單位後恰好經過原點，且拋物線的對稱軸是直線．
（1）求直線及拋物線的函式表示式；
（2）如果p是線段上一點，設、的面積分別為、，且，求點p的座標；
（3）設的半徑為l，圓心在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在與座標軸相切的情況？若存在，求出圓心的座標；若不存在，請說明理由．並**：若設⊙q的半徑為，圓心在拋物線上運動，則當取何值時，⊙q與兩坐軸同時相切？
【分析】(1)一次函式下移3個單位過原點，可以知道b=3，又點a的座標和對稱軸都知道，則點b的座標可以知道，把已知的點的座標代入相應的解析式即可。（2）過點b做直線ac的垂線段bd，則bd是兩個三角形的公共高，所以面積比就是底邊的比，然後過點p做x軸的垂線段，最後根據相似求值。（3）可以根據題意，分圓與x軸相切、與y軸相切和與兩軸都相切三種情況來考慮。
解：（1）∵沿軸向下平移3個單位後恰好經過原點，
將代入，得。解得。
直線ac的函式表示式為。
拋物線的對稱軸是直線
∴解得∴拋物線的函式表示式為。
（2）如圖，過點b作bd⊥ac於點d。
∵，∴ ∴。
過點p作pe⊥x軸於點e， ∵pe∥co， ∴△ape∽△aco，
∴， ∴ ∴，解得
∴點p的座標為
（3）（ⅰ）假設⊙q在運動過程中，存在與座標軸相切的情況。
設點q的座標為。
1 當⊙q與y軸相切時，有，即。
當時，得，∴
當時，得，∴
2 當⊙q與x軸相切時，有，即
當時，得，即，解得，∴
當時，得，即，解得，∴，。
綜上所述，存在符合條件的⊙q，其圓心q的座標分別為，，，，。
（ⅱ）設點q的座標為。
當⊙q與兩座標軸同時相切時，有。
由，得，即，
∵△=∴此方程無解。
由，得，即，
解得∴當⊙q的半徑時，⊙q與兩座標軸同時相切。
【涉及知識點】一次函式的圖形及性質、二次函式的圖形及性質、相似三角形的有關證明和性質、動點、分情況考慮問題等。
【點評】此題具有較高的綜合性，考查的知識點非常多，知識之間的銜接自然貫通，難度非常大，作為壓軸題，具有很好的區分度，體現了考試的選拔功能。
2.（2011.成都）28.如圖，在平面直角座標系中，△abc的a、b兩個頂點在x軸上，頂點c在y軸的負半軸上．已知，，△abc的面積，拋物線
經過a、b、c三點。
(1)求此拋物線的函式表示式；
(2)設e是y軸右側拋物線上異於點b的乙個動點，過點e作x軸的平行線交拋物線於另一點f，過點f作fg垂直於x軸於點g，再過點e作eh垂直於x軸於點h，得到矩形efgh．則在點e的運動過程中，當矩形efgh為正方形時，求出該正方形的邊長；
(3)在拋物線上是否存在異於b、c的點m，使△mbc中bc邊上的高為？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
分析：（1） 由已知設oa=m，則ob=oc=5m，ab=6m，由△abc=ab×oc=15，可求m的值，確定a、b、c三點座標，由a、b兩點座標設拋物線交點式，將c點座標代入即可；
（2）設e點座標為（m，m2﹣4m﹣5），拋物線對稱軸為x=2，根據2（m﹣2）=eh，列方程求解；
（3）存在．因為ob=oc=5，△obc為等腰直角三角形，直線bc解析式為y=x﹣5，則直線y=x+9或直線y=x﹣19與bc的距離為7，將直線解析式與拋物線解析式聯立，求m點的座標即可．
解答：解：（1）∵|oa|：|ob|=1：5，|ob|=|oc|，
設oa=m，則ob=oc=5m，ab=6m，
由△abc=ab×oc=15，得×6m×5m=15，解得m=1（捨去負值），
∴a（﹣1，0），b（5，0），c（0，﹣5），
設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將c點座標代入，得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣5），
即y=x2﹣4x﹣5；
（2）設e點座標為（m，m2﹣4m﹣5），拋物線對稱軸為x=2，
由2（m﹣2）=eh，得
2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，
解得m=1±或m=3±，
∵m＞2，∴m=1+或m=3+，
邊長ef=2（m﹣2）=2﹣2或2+2；
（3）存在．
由（1）可知ob=oc=5，
∴△obc為等腰直角三角形，直線bc解析式為y=x﹣5，
依題意，直線y=x+9或直線y=x﹣19與bc的距離為7，
聯立，，
解得或，
∴m點的座標為（﹣2，7），（7，16）．
【點評】：本題考查了二次函式的綜合運用．關鍵是採用形數結合的方法，準確地用點的座標表示線段的長，根據圖形的特點，列方程求解，注意分類討論．
3.（2012.成都）28． 如圖，在平面直角座標系xoy中，一次函式 (為常數)的圖象與x軸交於點a(，0)，與y軸交於點c．以直線x=1為對稱軸的拋物線 ( 為常數，且≠0)經過a，c兩點，並與x軸的正半軸交於點b．
（1）求的值及拋物線的函式表示式；
（2）設e是y軸右側拋物線上一點，過點e作直線ac的平行線交x軸於點f．是否存在這樣的點e，使得以a，c，e，f為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點e的座標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；
（3）若p是拋物線對稱軸上使△acp的周長取得最小值的點，過點p任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線於 ，兩點，試**是否為定值，並寫出**過程．
考點：二次函式綜合題。
解答：解：（1）∵經過點（﹣3，0），
∴0=+m，解得m=，
∴直線解析式為，c（0，）．
∵拋物線y=ax2+bx+c對稱軸為x=1，且與x軸交於a（﹣3，0），∴另一交點為b（5，0），
設拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣5），
∵拋物線經過c（0，），
∴=a3（﹣5），解得a=，
∴拋物線解析式為y=x2+x+；
（2）假設存在點e使得以a、c、e、f為頂點的四邊形是平行四邊形，
則ac∥ef且ac=ef．如答圖1，
（i）當點e在點e位置時，過點e作eg⊥x軸於點g，
∵ac∥ef，∴∠cao=∠efg，
又∵，∴△cao≌△efg，
∴eg=co=，即ye=，
∴=xe2+xe+，解得xe=2（xe=0與c點重合，捨去），
∴e（2，），sacef=；
（ii）當點e在點e′位置時，過點e′作e′g′⊥x軸於點g′，
同理可求得e′（+1，），sace′f′=．
（3）要使△acp的周長最小，只需ap+cp最小即可．
如答圖2，連線bc交x=1於p點，因為點a、b關於x=1對稱，根據軸對稱性質以及兩點之間線段最短，可知此時ap+cp最小（ap+cp最小值為線段bc的長度）．
∵b（5，0），c（0，），∴直線bc解析式為y=x+，
∵xp=1，∴yp=3，即p（1，3）．
令經過點p（1，3）的直線為y=kx+3﹣k，
∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，
聯立化簡得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，
∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．
∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．
根據兩點間距離公式得到：
m1m2===
∴m1m2===4（1+k2）．
又m1p===；
同理m2p=
∴m1pm2p=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）．
∴m1pm2p=m1m2，
∴=1為定值．
4.（2013成都）在平面直角座標系中，已知拋物線y=x2+bx+c（b，c為常數）的頂點為p，等腰直角三角形abc的頂點a的座標為（0，﹣1），c的座標為（4，3），直角頂點b在第四象限．
（1）如圖，若該拋物線過a，b兩點，求該拋物線的函式表示式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點p在直線ac上滑動，且與ac交於另一點q．
（i）若點m在直線ac下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點，當以m、p、q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點m的座標；
（ii）取bc的中點n，連線np，bq．試**是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．
5.（2014.成都）28.（本小題滿分12分） 如圖，已知拋物線（為常數，且）與軸從左至右依次交於a,b兩點，與軸交於點c，經過點b的直線與拋物線的另一交點為d.
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