2017北京市八一學校高一（上）期中
數學一、選擇題（共8道小題，每小題4分，共32分）1．設集合，，若，則的取值範圍是（ ）．abcd．
2．下列函式中，在區間上為增函式的是（ ）．abcd．
3．設，，，則（ ）．
abcd．
4．滿足條件的集合的個數是（ ）．
abcd．
5．已知是函式的乙個零點，若，，則（ ）．ab．，
cd．，
6．已知函式，則的值為（ ）．
abcd．
7．已知函式，若對任意，總存在，使得，則實數的取值範圍是（ ）．
abcd．
8．設方程的兩根為，，則（ ）．
abc． d．
二、填空題（共6道小題，每小題4分，共24分）9．函式的定義域是
10．已知函式（且）的圖象必經過點，則點座標是11．已知函式，若，則
12．當時，不等式恆成立，則實數的取值範圍是13．已知，若，則實數的取值範圍是
14．給定集合，，若是的對映，且滿足：
①任取，，若，則；
②任取，若，則有．則稱對映為的乙個「優對映」．例如：用表表示的對映是乙個「優對映」．
表（）若是乙個「優對映」，請把表補充完整（只需填出乙個滿足條件的對映）．
（）若是「優對映」，且，則的最大值為
三、解答題（4道小題，共44分．要求寫出必要的解答過程）15．（本題滿分分）求下列各式的值．
（）．（）．
（）設，求的值．
16．（本題滿分分）已知為定義在上的偶函式，且當時，．（）求當時，的解析式．
（）解不等式．
17．（本題滿分分）已知二次函式的最小值為，且．（）求的解析式．
（）若在區間上不單調，求實數的取值範圍．
（）在區間上，的圖象恆在的圖象上方，試確定實數的取值範圍．18．（本小題滿分分）
已知數集具有性質：對任意的，都存在，，使得成立．（）分別判斷數集與是否具有性質，並說明理由．（）求證：．
（）若，求的最小值．
數學試題答案
一、選擇題（共8道小題，每小題4分，共32分）1． 【答案】b
【解析】∵集合，集合，，∴．
故選．2．
【答案】b
【解析】項．的定義域為，故錯誤；
項．在上遞減，在上遞增，所以函式在上是增函式，故正確；
項，在上單調遞減，故錯誤；
項，在上單調遞減，故錯誤．
綜上所述．故選．
3． 【答案】b
【解析】由對數函式和指數函式的性質可知：，，，∴．故選．
4． 【答案】c
【解析】滿足條件的集合有，共個．
故選．5．
【答案】a
【解析】∵是函式的乙個零點，∴，
又在上單調遞增，且，，∴，∴，．
故選．6．
【答案】c
【解析】∵，∴．
故選．7．
【答案】d
【解析】∵，，∴，
∵，單調遞增，，∴，
若對任意，總存在，使得，則，解得．
故選．8．
【答案】a
【解析】不妨設，則，，∴，
∵，∴，∴，即，∴，∴．
故選．二、填空題（共6道小題，每小題4分，共24分）9．【答案】
【解析】要使函式有意義，則，解得，
故函式的定義域是．
10．【答案】
【解析】令得，
故函式的圖象必過定點．
11．【答案】
【解析】∵函式，，
∴，∴．
12．【答案】
【解析】設，，在同一座標系中作出它們的圖象，如圖所示：
若時，不等式恆成立，則，解得，即實數的取值範圍是．13．【答案】
【解析】∵，∴方程沒有正實數解，故集合有兩種情況：
①若，則，則；
②若，則方程有兩個非正數解，且不是其解，則有：，解得．綜上所述，，即實數的取值範圍是．
14．【答案】（）或或
或（）．
【解析】（）由優對映定義可知：，，
∴，；或，．
∴表有以下幾種可能：或或
或（）根據優對映的定義：是乙個「優對映」，且，則對，只有當，時，
取得最大值為．
三、解答題（4道小題，共44分．要求寫出必要的解答過程）15．【答案】見解析．
【解析】解：（），，，
，，．（），，，
，．（）設，則，，，∴，，
．16．
【答案】見解析．
【解析】解：（）∵當時，，
∴當時，，，
又為定義在上的偶函式，∴，
綜上，故時，．
（）當時，等價於，∴，即，
∴，解得，∴；
當時，等價於，
∴，即，∴，解得，∴，
綜上所述，不等式的解集為．
17．【答案】見解析．
【解析】解：（）由已知是二次函式，且，得的對稱軸為，又的最小值為，
故設，又，∴，解得，∴．
（）要使在區間上不單調，則，解得：．
故實數的取值範圍是．
（）由於在區間上，的圖象恆在的圖象上方，
所以在上恆成立，
即在上恆成立．
令，則在區間上單調遞減，
∴在區間上的最小值為，
∴，即實數的取值範圍是．
18．【答案】見解析．
【解析】解：（）∵，，，
∴數集具有性質；
∵不存在，，使得，
∴數集不具有性質．
（）∵集合具有性質，
∴對而言，存在，，使得，
又∵，，
∴，，∴，
同理可得，，
將上述不等式相加得，
∴．（）由（）可知，，
又，∴，，，，，，
∴，構造數集，
經檢驗具有性質，
故的最小值為．
2019北京市清華附中高一 上 期末語文
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