四種方法求橢圓方程
胡貴平（甘肅省**市第一中學 ，甘肅** 730900）
有關橢圓的綜合性題目是高考的熱點和難點，迅速而準確地求出橢圓方程，是解決有關綜合問題的先決條件，求橢圓方程的方法有哪些呢？具體問題具體分析，不一樣的特點題目，不一樣的方法，現歸納如下：
1.待定係數法
例1. 求過點和的橢圓的標準方程.
分析：雖然知道是標準方程，但是不能確定焦點在哪個座標軸上，如果分焦點在軸和軸上進行討論，計算量太大，其實也沒有必要，把橢圓方程設為橢圓系，可以大大減小計算量.
解：設所求橢圓方程為（，），
因為橢圓過、兩點，所以，且
聯立解之，得： 故所求橢圓的方程為
練習：求滿足下列條件的橢圓的標準方程
1 長軸是短軸的3倍且經過點a(3,0) ②離心率是，長軸是8
3 與橢圓有相同的離心率，且經過點
答案：①，② ③.
點撥：利用待定係數法要先定型（哪一種標準形式），後定參（）最後寫出方程.注意隱含條件的利用.
2.定義法
例2. 過點a（3，0），且與圓c：內切的動圓圓心的軌跡方程是 ．
分析：線段的長就等於已知圓的半徑10，又因為動圓過點，所以，於是有，從而由橢圓的定義就可以求出點動圓圓心的軌跡方程.
解： 設動圓的圓心為，切點為，則.，， >.由橢圓的定義可知，點的軌跡是以點和為焦點的橢圓，其方程為.
練習：在直角座標系中，點p到兩點，的距離之和等於4，設點p的軌跡為，寫出c的方程；
答案：曲線c的方程為．
點撥：本例利用橢圓的定義簡化了解題過程.熟練理解橢圓的定義，才能「觸景生情」，「妙筆生花」.
3.代入法
例3.已知乙個圓的圓心為座標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點p向軸作垂線段，求線段的三等分點m的軌跡方程
解：已知圓的方程為
①當時（如圖2），設動點，，因為點在圓上，所以有，即
②當時（如圖1），設動點，則因為點在圓上，所以有，即，所以點的軌跡是橢圓，方程是
橢圓的方程是或.
點撥：代入法又稱為相關點法.題目的情景是「未知動點隨已知曲線上的動點動而動」，一定要找到這兩個動點座標之間的聯絡，用未知點的座標表示已知動點的座標，然後帶入已知曲線方程即可.
它是求軌跡方程的一種常用方法.
練習：的底邊bc＝16，ac和ab兩邊上的中線長之和為30，求此三角形重心ｇ和定點ａ的軌跡方程．
答案：．．
4.直接法
例4 設動直線l垂直與x軸，且與橢圓交於a、b兩點，點p是直線l上滿足的點，求點p的軌跡方程．
分析：因為題幹中存在乙個幾何關係式，把這個式子落實成.
解：如圖2所示，設，由於點在直線l上且直線l與橢圓交於a、b兩點，所以,設，則.
在橢圓上，，則………………①
, ，即 …………②
由①②可得，即,或.
所以,點p的軌跡方程是,或.
練習：點與定點的距離和它到定直線l: 的距離之比是，求點的軌跡方程.
答案：點撥：直接法就是把題目中的幾何關係直接用動點的座標表達出來.它是求軌跡方程的基本方法，也是求橢圓的方程問題常規方法
以上四種方法在求軌跡方程題目中經常使用，透徹理解每種方法的精髓，有助於後續的學習.
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