一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）
1．（5分）設全集u=，集合a=，b=，則（ua）∩b為（）
a． b． c． d．
2．（5分）i為虛數單位，則複數的虛部是（）
a． ﹣i b． i c． 1 d． ﹣1
3．（5分）設a∈r，則「a=﹣2」是「直線l1：ax+2y﹣1=0與直線l2：x+（a+1）y+4=0平行」的（）
a． 充分不必要條件 b． 必要不充分條件
c． 充分必要條件 d． 既不充分也不必要條件
4．（5分）下列函式中，在（﹣1，1）內有零點且單調遞增的是（）
a． b． y=2x﹣1 c． d． y=﹣x3
5．（5分）以點（3，﹣1）為圓心且與直線3x+4y=0相切的圓的方程是（）
a． （x﹣3）2+（y+1）2=1 b． （x+3）2+（y﹣1）2=1 c． （x+3）2+（y﹣1）2=2 d． （x﹣3）2+（y+1）2=2
6．（5分）如圖，三行三列的方陣中有9個數aij（i=1，2，3；j=1，2，3），從中任取三個數，則至少有兩個數字於同行或同列的概率是（）
a． b． c． d．
7．（5分）設x，y滿足約束條件，若目標函式z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，則ab的最大值為（）
a． 1 b． c． d．
8．（5分）設函式y=f（x）在r上有定義，對於任一給定的正數p，定義函式fp（x）=，則稱函式fp（x）為f（x）的「p界函式」，若給定函式f（x）=x2﹣2x﹣2，p=1，則下列結論成立的是（）
a． fp[f（0）]=f[fp（0）] b． fp[f（1）]=f[fp（1）] c． fp[f（2）]=fp[fp（2）] d． f[f（﹣2）]=fp[fp（﹣2）]
二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）
9．（5分）已知a，b，c分別是△abc的三個內角，a，b，c所對的邊，若a=3，c=120°，△abc的面積s=，則c為．
10．（5分）乙個幾何體的三檢視如圖所示，正檢視為正方形，俯檢視為半圓，側檢視為矩形，則其表面積為．
11．（5分）若執行如圖所示的程式框圖，則輸出的s是．
12．（5分）已知等比數列的第5項是二項式（﹣）6展開式的常數項，則a3a7=．
13．（5分）已知a、b是橢圓+=1（a＞b＞0）長軸的兩個端點，m，n是橢圓上關於x軸對稱的兩點，直線am，bn的斜率分別為k1，k2，且k1k2≠0若|k1|+|k2|的最小值為1，則橢圓的離心率．
（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）
【座標系與引數方程】
14．（5分）在極座標系中，曲線ρ=sinθ與ρ=cosθ（ρ＞0，0≤θ≤）的交點的極座標為．
【幾何證明選講】
15．如圖，圓o的半徑為13cm，點p是弦ab的中點，po=5cm，弦cd過點p，且=，則cd的長為cm．
三、解答題
16．（12分）已知函式f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈r，0＜φ＜π），f（）=．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f求sin（α+）的值．
17．（12分）第117屆中國進出口商品交易會（簡稱春季交廣會）將於4月15日在廣州市舉行，為了搞好接待工作，組委會在廣州某大學分別招募8名男志願者和12名女志願者，現將這20名志願者的身高組成如下莖葉圖（單位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定義為「高個子」，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為「非高個子」．
（1）計算男志願者的平均身高和女志願者身高的中位數（保留一位小數）；
（2）若從所有「高個子」中選3名志願者，用ξ表示所選志願者中為女志願者的人數，試寫出ξ的分布列，並求ξ的數學期望．
18．（14分）如圖，在四稜錐p﹣abcd中，pd⊥平面abcd，ad⊥dc，db平分∠adc，e為pc的中點，ad=cd=1，db=2，pd=2．
（1）證明：pa∥平面bde；
（2）證明：ac⊥pb；
（3）求二面角e﹣bd﹣c的余弦值．
19．（14分）已知數列的前n項和為sn，a1=1，且2nsn+1﹣2（n+1）sn=n（n+1）（n∈n*）．數列滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈n*）．b3=5，其前9項和為63．
（1）求數列和的通項公式；
（2）令cn=+，數列的前n項和為tn，若對任意正整數n，都有tn﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．
20．（14分）已知點f（0，1），直線l：y=﹣1，p為平面上的動點，過點p作直線l的垂線，垂足為q，且=．
（1）求動點p的軌跡c的方程；
（2）設m為直線l1：y=﹣m（m＞2）上的任意一點，過點m作軌跡c的兩條切線ma，mb．切點分別為a，b，試**直線l1上是否存在點m，使得△mab為直角三角形？若存在，有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由．
21．（14分）設函式f（x）=ln|x|﹣x2+ax．
（ⅰ）求函式f（x）的導函式f′（x）；
（ⅱ）若x1、x2為函式f（x）的兩個極值點，且，試求函式f（x）的單調遞增區間；
（ⅲ）設函式f（x）在點c（x0，f（x0））（x0為非零常數）處的切線為l，若函式f（x）圖象上的點都不在直線l的上方，試探求x0的取值範圍．
廣東省茂名市2015屆高考數學一模試卷（理科）
參***與試題解析
一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）
1．（5分）設全集u=，集合a=，b=，則（ua）∩b為（）
a． b． c． d．
考點： 交、並、補集的混合運算．
專題： 集合．
分析： 先求出a的補集，從而求出（ua）∩b，進而得到答案．
解答： 解：∵ua=，
∴（ua）∩b=∩=，
故選：b．
點評： 本題考查了集合的交，並，補集的運算，是一道基礎題．
2．（5分）i為虛數單位，則複數的虛部是（）
a． ﹣i b． i c． 1 d． ﹣1
考點： 複數代數形式的乘除運算．
專題： 數系的擴充和複數．
分析： 直接利用複數代數形式的乘除運算化簡得答案．
解答： 解：∵=，
∴複數的虛部是﹣1．
故選：d．
點評： 本題考查了複數代數形式的乘除運算，考查了複數的基本概念，是基礎題．
3．（5分）設a∈r，則「a=﹣2」是「直線l1：ax+2y﹣1=0與直線l2：x+（a+1）y+4=0平行」的（）
a． 充分不必要條件 b． 必要不充分條件
c． 充分必要條件 d． 既不充分也不必要條件
考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．
專題： 簡易邏輯．
分析： 根據直線平行的條件，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
解答： 解：當a=﹣2時，兩直線方程分別為l1：﹣2x+2y﹣1=0與直線l2：x﹣y+4=0滿足，兩直線平行，充分性成立．
當a=1時，滿足直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，
∴「a=﹣2」是「直線l1：ax+2y﹣1=0與直線l2：x+（a+1）y+4=0平行」的充分不必要條件，
故選：a．
點評： 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用直線平行的條件是解決本題的關鍵．
4．（5分）下列函式中，在（﹣1，1）內有零點且單調遞增的是（）
a． b． y=2x﹣1 c． d． y=﹣x3
考點： 函式的零點．
專題： 計算題．
分析： a、對數函式的定義域和底數小於1時是減函式；b、對數函式的定義域和底數大於1時是增函式；c、指數是正數的冪函式在r上是增函式；d、底數大於1的指數函式在r上是增函式．
解答： 解：a、的定義域是（0，+∞），且為減函式，故不正確；
b、y=2x﹣1的定義域是r，並且是增函式，且在（﹣1，1）上零點為0，故正確；
c、在（﹣1，0）上是減函式，在（0，1）上是增函式，故不正確；
d、y=﹣x3是減函式，故不正確．
故選b．
點評： 考查基本初等函式的定義域和單調性以及函式的零點問題，屬基礎題．
5．（5分）以點（3，﹣1）為圓心且與直線3x+4y=0相切的圓的方程是（）
a． （x﹣3）2+（y+1）2=1 b． （x+3）2+（y﹣1）2=1 c． （x+3）2+（y﹣1）2=2 d． （x﹣3）2+（y+1）2=2
考點： 圓的標準方程．
專題： 計算題；直線與圓．
分析： 根據題意，求出點（3，﹣1）與直線3x+4y=0的距離，即為所求圓的半徑，結合圓的標準方程形式即可得到本題答案．
解答： 解：設圓的方程是（x﹣3）2+（y+1）2=r2
∵直線3x+4y=0相與圓相切
∴圓的半徑r==1
因此，所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2=1
故選：a．
點評： 本題求乙個已知圓心且與已知直線相切的圓方程，著重考查了點到直線的距離公式、圓的標準方程和直線與圓的位置關係等知識，屬於基礎題．
6．（5分）如圖，三行三列的方陣中有9個數aij（i=1，2，3；j=1，2，3），從中任取三個數，則至少有兩個數字於同行或同列的概率是（）
a． b． c． d．
考點： 排列、組合及簡單計數問題；古典概型及其概率計算公式．
專題： 排列組合．
分析： 從9個數中任取3個數共有c93=84種取法，求得不滿足要求的選法共有6種，可得滿足條件的選法有84﹣6=78種，從而求得所求事件的概率．
解答： 解：從9個數中任取3個數共有c93=84種取法，
取出的三個數，使它們不同行且不同列：從第一行中任取乙個數有
c 1 3
種方法，
則第二行只能從另外兩列中的兩個數任取乙個有
c 1 2
種方法，
第三行只能從剩下的一列中取即可有1中方法，
∴共有×=6種方法，即三個數分別位於三行或三列的情況有6種，
∴所求的概率為 =．
故答案選 d．
點評： 本題考查簡單計數原理和組合數公式的應用、概率的計算公式，直接解法較複雜，採用間接解法比較簡單．
7．（5分）設x，y滿足約束條件，若目標函式z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值2，則ab的最大值為（）
a． 1 b． c． d．
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