雲南交通職業技術學院
數學建模協會會刊
2023年07月上半月刊
第十三期
主辦：雲南交通職業技術學院院團委、校學生會社團部
承辦：數學建模協會
協會口號：尋覓人生全約束，活出人生max！
協會宗旨：活躍思想，學術為先；依託數學建模，培養開拓性人才。
全國大學生數學建模建模競賽口號：一次參賽，終生受益！
目錄數學之窗 2
運籌學具體內容 2
規劃論 2
庫存論 3
圖論 3
排隊論 3
可靠性理論 4
對策論 4
搜尋論 4
數學1+1 5
特徵向量和特徵值相似和對角化 5
內積正交矩陣實對稱矩陣的對角化 13
建模天地 16
數學建模選修期末題目及答案 16
趣味數學 19
概率遊戲 19
不可能的三角形 21
會員心聲 22
協會風采 23
運籌學的具體內容包括：規劃論（包括線性規劃、非線性規劃、整數規劃和動態規劃）、庫存論、圖論、決策論、對策論、排隊論、、博弈論、可靠性理論等。
數學規劃即上面所說的規劃論，是運籌學的乙個重要分支，早在2023年蘇聯的康托洛維奇（ ）和美國的希奇柯克（等人就在生產組織管理和制定交通運輸方案方面首先研究和應用一線性規劃方法。2023年旦茨格等人提出了求解線性規劃問題的單純形方法，為線性規劃的理論與計算奠定了基礎，特別是電子計算機的出現和日益完善，更使規劃論得到迅速的發展，可用電子計算機來處理成千上萬個約束條件和變數的大規模線性規劃問題，從解決技術問題的最優化，到工業、農業、商業、交通運輸業以及決策分析部門都可以發揮作用。從範圍來看，小到乙個班組的計畫安排，大至整個部門，以至國民經濟計畫的最優化方案分析，它都有用武之地，具有適應性強，應用面廣，計算技術比較簡便的特點。
非線性規劃的基礎性工作則是在2023年由庫恩（和塔克（等人完成的，到了70年代，數學規劃無論是在理論上和方法上，還是在應用的深度和廣度上都得到了進一步的發展。
數學規劃的研究物件是計畫管理工作中有關安排和估值的問題，解決的主要問題是在給定條件下，按某一衡量指標來尋找安排的最優方案。它可以表示成求函式在滿足約束條件下的極大極小值問題。
數學規劃和古典的求極值的問題有本質上的不同，古典方法只能處理具有簡單表示式，和簡單約束條件的情況。而現代的數學規劃中的問題目標函式和約束條件都很複雜，而且要求給出某種精確度的數字解答，因此演算法的研究特別受到重視。
這裡最簡單的一種問題就是線性規劃。如果約束條件和目標函式都是呈線性關係的就叫線性規劃。要解決線性規劃問題，從理論上講都要解線性方程組，因此解線性方程組的方法，以及關於行列式、矩陣的知識，就是線性規劃中非常必要的工具。
線性規劃及其解法—單純形法的出現，對運籌學的發展起了重大的推動作用。許多實際問題都可以化成線性規劃來解決，而單純形法有是乙個行之有效的演算法，加上計算機的出現，使一些大型複雜的實際問題的解決成為現實。
非線性規劃是線性規劃的進一步發展和繼續。許多實際問題如設計問題、經濟平衡問題都屬於非線性規劃的範疇。非線性規劃擴大了數學規劃的應用範圍，同時也給數學工作者提出了許多基本理論問題，使數學中的如凸分析、數值分析等也得到了發展。
還有一種規劃問題和時間有關，叫做「動態規劃」。近年來在工程控制、技術物理和通訊中的最佳控制問題中，已經成為經常使用的重要工具。
庫存論是一種研究物質最優儲存及儲存控制的理論，物質儲存時工業生產和經濟運轉的必然現象。如果物質儲存過多，則會占用大量倉儲空間，增加保管費用，使物質過時報廢從而造成經濟損失；如果儲存過少，則會因失去銷售時機而減少利潤，或因原料短缺而造成停產。因而如何尋求乙個恰當的採購，儲存方案就成為庫存論研究的物件。
圖論是乙個古老的但又十分活躍的分支，它是網路技術的基礎。圖論的創始人是數學家尤拉。2023年他發表了圖論方面的第一篇**，解決了著名的哥尼斯堡七橋難題，相隔一百年後，在2023年基爾霍夫第一次應用圖論的原理分析電網，從而把圖論引進到工程技術領域。
20世紀50年代以來，圖論的理論得到了進一步發展，將複雜龐大的工程系統和管理問題用圖描述，可以解決很多任務程設計和管理決策的最優化問題，例如，完成工程任務的時間最少，距離最短，費用最省等等。圖論受到數學、工程技術及經營管理等各方面越來越廣泛的重視。
排隊論又叫隨機服務系統理論。最初是在二十世紀初由丹麥工程師艾爾郎關於**交換機的效率研究開始的，在第二次世界大戰中為了對飛機場跑道的容納量進行估算，它得到了進一步的發展，其相應的學科更新論、可靠性理論等也都發展起來。
2023年丹麥的**工程師愛爾朗（排隊問題，2023年以後，開始了更為一般情況的研究，取得了一些重要成果。2023年前後，開始了對機器管理、陸空交通等方面的研究，2023年以後，理論工作有了新的進展，逐漸奠定了現代隨機服務系統的理論基礎。排隊論主要研究各種系統的排隊隊長，排隊的等待時間及所提供的服務等各種引數，以便求得更好的服務。
它是研究系統隨機聚散現象的理論。
排隊論又叫做隨機服務系統理論。它的研究目的是要回答如何改進服務機構或組織被服務的物件，使得某種指標達到最優的問題。比如乙個港口應該有多少個碼頭，乙個工廠應該有多少維修人員等。
因為排隊現象是乙個隨機現象，因此在研究排隊現象的時候，主要採用的是研究隨機現象的概率論作為主要工具。此外，還有微分和微分方程。排隊論把它所要研究的物件形象的描述為顧客來到服務台前要求接待。
如果服務台以被其它顧客占用，那麼就要排隊。另一方面，服務台也時而空閒、時而忙碌。就需要通過數學方法求得顧客的等待時間、排隊長度等的概率分布。
排隊論在日常生活中的應用是相當廣泛的，比如水庫水量的調節、生產流水線的安排，鐵路分成場的排程、電網的設計等等。
可靠性理論是研究系統故障、以提高系統可靠性問題的理論。可靠性理論研究的系統一般分為兩類：（1）不可修系統：
如飛彈等，這種系統的引數是壽命、可靠度等，（2）可修復系統：如一般的機電裝置等，這種系統的重要引數是有效度，其值為系統的正常工作時間與正常工作時間加上事故修理時間之比。
對策論也叫博弈論，前面講的田忌賽馬就是典型的博弈論問題。作為運籌學的乙個分支，博弈論的發展也只有幾十年的歷史。系統地建立這門學科的數學家，現在一般公認為是美籍匈牙利數學家、計算機之父——馮·諾依曼。
最初用數學方法研究博弈論是在西洋棋中開始的，旨在用來如何確定取勝的演算法。由於是研究雙方衝突、制勝對策的問題，所以這門學科在軍事方面有著十分重要的應用。近年來，數學家還對水雷和艦艇、殲擊機和轟炸機之間的作戰、追蹤等問題進行了研究，提出了追逃雙方都能自主決策的數學理論。
近年來，隨著人工智慧研究的進一步發展，對博弈論提出了更多新的要求。
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