學號：g201******x
姓名：xx
****：13***xx
1．椅子放平問題
依照1.2.1節中的「椅子問題』的方法，將假設中的「四腿長相同並且四腳連線呈正方形」，改為「四腿長相同並且四腳連線呈長方形」，其餘假設不變，問椅子還能放平嗎？
如果能，請證明；如果不能，請舉出相應的例子。
答：模型假設 1.椅子四腳一樣長，椅腳與地面接觸處可視為乙個點。
2．地面高度是連續變化的，即地面視為連續曲面。 3.對於椅腳的間距和椅腳的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三隻腳與地面同時著地。
首先用變數表示椅子的位置，以長方形一對角線 ac為 x 軸，bd為 y。設x模型構成軸 y軸間夾角為θ。當椅子繞中心 o 旋轉角度θ』後。
長方形 abcd 轉至 a』b』c』d』的位置，所以對角線 ac 與 x 軸的夾角θ』表示了椅子的位置。
記a，c，兩腳與地面的距離之和為f(θ』),b,d兩腳與地面的距離之和為g (θ』)。(f(θ』)，g (θ』)>=0)。由假設2，f,g是連續函式。
由假設3，椅子在任何時候至少有三隻腳著地，所以對任何θ』，f(θ』)和 g(θ』)中至少有乙個為0。當θ』=0時不妨設f(θ』)=0，g(θ』)>0.這樣，改變椅子位置使四隻腳同時著地，就歸結為證明如下命題:
已知f(θ』) 和g (θ』)是θ』的連續函式，對任意θ』，f(θ』) g(θ』)=0,且f(0)=0，g(0)>0.證明存在θ1，使f(θ1) =g(θ1)=0.
模型求解 : 將椅子旋轉θ，對角線ac與bd互換。由f(0)=0，g(0)>0知f(θ).>0,g(θ)=0。
令h(θ』)=f(θ』)-g(θ』),則h(0)<0,h(θ)>0。由f,g的連續性知h也是連續函式。根據連續函式的基本性質，必有θ1（0<θ1<θ）使h(θ1)=0,即f(θ1)=g(θ1)。
最後，因為f(θ1) g(θ1)=0,所以f(θ1)=g(θ1)=0.
2．過河問題
依照1.2.2節「商人安全過河』的方法，完成下面的智力遊戲：
人帶著貓、雞、公尺過過河，船除需要人劃之外，至多能載貓、雞、公尺之一，而當人不在場時，貓要吃雞、雞要吃公尺，試設計乙個安全過河的方案，並使渡河的次數盡量地少．
答：人帶雞先過河，把雞放對岸；回來把貓帶過去，把貓放對岸；同時，把雞帶回來，把雞放下，帶公尺過河，把公尺放在對岸，最後回來，把雞帶到對岸。
3．購房貸款問題（續）
在1.2.3節「購房貸款』的問題中，我們討論了小王夫婦借貸還貸的方式，現進一步討論此問題，某借貸公司的廣告稱，對於貸款期在20年以上的客戶（利率仍按0.
6%／月計算），他們幫你提前三年還清貸款．但條件如下：
(1)每半個月付款一次，但付款額不增加，即一次付款額是原付給銀行還款額的1/2;
(2)因為增加必要的檔案、文書等管理工作，因此，要預付給借貸公司貸款總額10%的佣金，
試分析，小王夫婦是否要請這家借貸公司幫助還款。
答：小王夫婦正常還款，總共的還款額為：
1574.70×12×20＝377928.00元。
如果請這家借貸公司幫助還款，提前三年還完則為 17 年還完貸款。因此總的還款額是：
1574.70×0.5×17×12×2+200000×10%＝341238.60 元
明顯341238.60元<377928.00 元。
所以，小王夫婦應該請這家借貸公司幫助還款。
4．冷卻走律與破案
按照newton冷卻定律，溫度為t的物體在溫度為to (to答：首先根據 newton 冷卻定律列出其方程：
（1）（1）的通解為：=+
早上6點時t=0， t(0)=26℃， 早上8點時t=2， t(2)=18℃.假設死者死亡時體溫正常t()=37℃，
由通解表示式可知：
=+26
=+=18
求解得，c=16，k≈-0.35。
即：=+。
t()=37℃代入上式，解得 =-1.49，因此推斷死亡時間約在四點三十分。
5鍛鍊想象力、洞察力和判斷力的問題
（1）某人早8時從山下旅店出發沿一條山路上山，下午5時到達山頂並留宿，次日8時沿同一路徑下山，下午5時回到旅店，該人必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點，為什麼？
答:假設是同一天，兩個不同的人相向而行，兩人必然相遇，相遇點就是同一時刻同一地點。
（2）甲乙兩站之間有汽車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發一趟車，但發車時刻不一定相同，甲乙兩站之間有一中間站丙，某人每天在隨機時刻到達丙站，並搭乘最先經過丙站的那趟車，結果發現100天中約有90天到達甲站，大約10天到達乙站，問開往甲乙兩站的汽車經過兩站的時刻表是如何安排的？
答:因為發車間隔10分鐘，乘車人到車站後10分鐘內必然有車到達。90天到甲站，10天到乙站，說明遇到往甲站方向的車的概率是乙站的9倍， 10分鐘分成10份正好1分鐘，假設從甲出發的車到丙站的時間是1，可以歸納如下：
可以看出，從甲站出發的車比乙站正好早九分鐘。
思考：解題是以到達丙站的時間為基準的，前提是假設發車時間和到達丙站時間一一對應，如果車輛不是勻速運動，或者存在上下坡的問題該如何作答呢？冒昧建議將此題改為：
從車站有兩趟車分別走甲乙路線到達目的地，其他不變。
(3)張先生家住在a市，在b市工作，每天下班後他乘城際火車於18:00抵達a市火車站，他妻子駕車至火車站接他回家，一日他提前下班，乘早一班火車於17:30抵達a市火車站，隨即步行回家，他妻子像往常一樣駕車前來，在半路相遇將他接回家，到家時張先生發現比往常提前了10分鐘，問張先生步行了多長時間？
答:假設張先生步行的距離為s，則妻子比往常少開了張先生所走距離的2倍，即2s。因為提前10分鐘到家，所以妻子開車行駛2s距離的時間為10分鐘。
妻子今日在距離火車站s距離的地方遇到張先生，這個距離需要開車5分鐘,所以妻子遇到張先生的時間為17:55分，張先生17：30到達，由此計算出張先生已經步行25分鐘。
(4) 男孩和一女孩分別在距家2公里和1公里且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學後分別以每小時4公里和每小時2公里的速度步行回家，一小狗以每小時6公里的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中，問小狗奔波了多少路程，如果男孩和女孩上學時，小狗也往返奔波在他們中間，問當他們到達學校時小狗在何處？
答：男孩和女孩回家的時間都是半小時，狗的速度是6公里/小時，所以當他們返回家中，狗跑了3公里。
設s為初始狀態時小狗與家的位移，s1』表示孩子到學校時小狗最終位移，i表示小狗與人的相遇次數，ti為第i次小狗與人相遇時所經歷的總時間，v1，v2，v3分別表示小狗、男孩、女孩的運動速率，si表示小狗第i次與孩子相遇時小狗的位移。小狗初始狀態s位於家與女孩學校之間（﹣1≤s＜0），當t=0時，小狗與女孩相向而行，i=1，之後變為小狗追男孩，在於男孩相遇（i=2）之後再追女孩，如此往返，i為奇數時小狗與女孩相遇，i為偶數時小狗與男孩相遇。
s=0時，即小狗、男孩、女孩同時從家出發，設小狗先向女孩運動，假設小狗最後停在si』處，可以得到方程：
當i為無窮多次時，由定理可得s=0，對任意的si』，s≡0；即當s=0時，小狗的最終位置si』可以為[-1,2]中的任意數。
所以孩子到學校時小狗的最終位置不確定。
6 、加分實驗（公平投票問題）
某部門推出一專項**目的在於培養優秀人才，根據評比結果來確定資助的額度，許多單位昀優秀者都申請了該**，於是該**的委員會聘請了數名專家，按照如下規則進行評比．
(1)為了公平性，評委對本單位選手不給分；
(2)每位評委對每位參與申請的人（除本單位選手外）都必須打分，且不打相同的分；
(3)評委打分方法為給參加申請的人排序，根據優劣分別記1分、2分、…，依次類推．
(4)評判結束後，求出各選手的平均分，按平均分從低到高排序，依次確定本次評比的名次，即平均分最低者獲得資助最高，依次類推，本次**申請中，甲所在單位有一名評委，這位評委將不參加對選手甲的評判，其它選手沒有類似情況，評審結束後選手甲覺得這種評比規則對他不公平，
問選手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正來解決選手甲的抱怨？
西工大數學建模心得徵文
留守兒童 的心得體會 學校的數學建模競賽在每年的五一期間舉行。今年我又參加了學校的數模競賽，我和我的隊友們戲謔地說 今年的五一，我們仨兒又在學校當 留守兒童 了！大一的時候，我就參加了學校的數模競賽，不過那時大一的我對數學建模了解比較少，之所以參加競賽，說來就彷彿海邊撿貝殼的孩子，只是因為好奇心所以...
數學建模作業
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哈工大陣列訊號處理作業答案
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