第1頁哈爾濱工業大學
共2頁二○○七年碩士研究生入學考試試題
考試科目：數學分析
報考專業：基礎數學、計算數學、應用數學、運籌學與控制論考試科目**：[612 ]
考生注意：答案務必寫在答題紙上，並標明題號。答在試題上無效。
題號一二三四五六七**十總分分數15151515151515151515150
x2,n為非負整數.按提示的思路用三種不同
一、設x01,xn1n
xn1方法證明:limxn存在並求極限值。
n思路一:利用上、下極限;思路二:利用單調有界原理;思路三:利用壓縮映像原理;思路四:利用其它方法。
二、設函式fn(x),f(x)在[a,b]上連續,且x[a,b],limfn(x)f(x),fn(x)
n為單調數列。求證:limmaxfn(x)maxf(x)。
nx[a,b]
x[a,b]
三、設f(x)在[a,)上(a0)滿足
|f(x)f(y)|(|xy|),|g(x)g(y)|(|xy|)這裡(x)0當x0,且存在常數k1使k(|x|)|g(a)|。求證
[a,)上一致連續。
f(x)
在g(x)
x2xn
四、設pn(x)1x,xm是p2m1(x)0的實根,不利用有界數列
2!n!
必有收斂的子列證明:limxm。
m五、設f(x)在[0,1]連續,|f(x)|1且f(x)dx0。證明x1,x2(0,1)有在01
x1x2
1f(x)dx。
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共2頁六、設f(x)在[0,1]可導且f(0)0,|f'(x)1||f(x)|x,x[0,1]。證明方程f(x)x有無窮多解。
七、設f(x),g(x)在(2,3)內可導，且x1x2(2,3)使f(x1)f(x2)0。求證(x1,x2)內至少有xf'(x)lnxf(x)(g'(x)xlnx1)的乙個零點。
n的斂散性。n
ln4ln27lnnn2
九、計算
x1lim2006dtx102007
t(1t)
(1)n
n012007n
十、1)設f(x,y)是二元連續函式,求f(t)2
八、討論
xy2t2
f(x,y)dxdy(t0)的導函式;
2)計算cs
x2cosy2cosz2cosds，其中s為圓錐曲面x2y2z2
(0zh)的一部分,cos,cos,cos為此曲面外法線的方向余弦;
3)計算(yz)dx(zx)dy(xy)dz,其中c為依引數t增大的方向通過的橢圓xasin2t,y2asintcost,zacos2t,0t2。
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